紧态射

紧态射是范畴中一类态射, 是泛函分析中紧算子的范畴论类比.

1定义

设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 有任意滤余极限.

定义 1.1 (弱紧态射). 称 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:X\to Y$ 为弱紧态射, 指对 $\mathcal{C}$ 中任一滤图表 $(Z_i{)}_{i\in I}$ 以及任一态射 $g:Y\to {\mathrm{colim}}_{i\in I}{Z}_i$, 存在 $i_0\in I$ 以及态射 $h:X\to Z_{i_0}$, 使图表$$XY{Z}_{i_0}{\mathrm{colim}}_{i\in I}{Z}_{i}fhg$$交换.

高阶范畴论中有时需要一个更强的、更同伦连贯的概念. 以下 $\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 仍有任意滤余极限.

定义 1.2 (强紧态射). 称 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:X\to Y$ 为强紧态射, 指对 $\mathcal{C}$ 中任一滤图表 $(Z_i{)}_{i\in I}$, 存在虚线态射使图表$${\mathrm{colim}}_{i\in I}\mathrm{Hom}(X,Z_i){\mathrm{colim}}_{i\in I}\mathrm{Hom}(X,Z_i)\mathrm{Hom}(Y,{\mathrm{colim}}_{i\in I}{Z}_i)\mathrm{Hom}(X,{\mathrm{colim}}_{i\in I}{Z}_i)f^{\ast }{f}^{\ast }$$交换, 其中 $\mathrm{Hom}$ 表示 $\mathcal{C}$ 的态射生象.

还可以要求更强的同伦连贯性.

定义 1.3 (紧态射生象). 对 $X,Y\in \mathcal{C}$, $X$ 到 $Y$ 的紧态射生象定义为$${\mathrm{Hom}}^{紧}(X,Y)=\underset{(Z_i{)}_{i\in I}\in \mathsf{Ind}({\mathcal{C}}_{/Y})}{\lim }\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}\mathrm{Hom}(X,Z_i).$$注意由于范畴 $\mathsf{Ind}({\mathcal{C}}_{/Y})$ 未必小, 这个极限未必存在. 如它存在, 则显然有生象映射 ${\mathrm{Hom}}^{紧}(X,Y)\to \mathrm{Hom}(X,Y)$.

2性质

命题 2.1. 设 $f:X\to Y$、$g:X^{\prime }\to X$、$h:Y\to Y^{\prime }$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 中态射. 如 $f$ 弱紧, 则 $h\circ f\circ g$ 弱紧.

定理 2.2. 设 $\mathcal{C}$ 为紧聚集 $(\infty ,1)$-范畴. 则对任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, ${\mathrm{Hom}}^{紧}(X,Y)$ 存在, 且对任意态射 $f:X\to Y$, 以下几条等价:

•	$f$ 弱紧.
•	$f$ 强紧.
•	存在 $\tilde{f}\in {\mathrm{Hom}}^{紧}(X,Y)$ 打到 $f\in \mathrm{Hom}(X,Y)$.

3相关概念

•

紧聚集范畴

术语翻译

紧态射 • 英文 compact morphism

弱紧态射 • 英文 weakly compact morphism