张量积

关于其它含义, 请参见 “张量积 (多义词)”.

张量积是线性代数中的一种构造, 常用 $\otimes$ 表示. 两个向量空间 (或更一般地, 两个模) $V, W$ 的张量积 $V \otimes W$ 是一个向量空间 (或模), 它由形如 $v \otimes w (v \in V, w \in W)$ 的元素张成, 并且满足双线性关系 $(a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}) \otimes w v \otimes (a_{1} w_{1} + a_{2} w_{2}) = a_{1} (v_{1} \otimes w) + a_{2} (v_{2} \otimes w), = a_{1} (v \otimes w_{1}) + a_{2} (v \otimes w_{2}),$ 其中 $a_{1}, a_{2}$ 是标量. 这种构造使得 $V \times W$ 上的双线性函数可以等价地看成 $V \otimes W$ 上的线性函数.

这种构造也可以推广到多个向量空间. 这样, 多重线性函数可以看成是多个向量空间的张量积上的线性函数. 例如, 内积、外积、流形上的张量都是这样的多重线性函数.

张量积是乘法的范畴化. 具体地说, 模的直和可以视为模之间的加法, 可以想象乘法也应有一类似物, 即为张量积, 并在适当条件下满足乘法应有的性质, 例如结合律, 交换律, 分配律.

1定义
2性质
伴随性
零元与单位元
结合律
交换律
分配律
3相关概念

1定义

定义 1.1 (向量空间的张量积). 设 $k$ 是域, $V, W$ 是 $k$ -向量空间. 它们的张量积是向量空间 $V \otimes_{k} W = (v \in V w \in W ⨁ k \cdot (v \otimes w)) / \sim,$ 其中等价关系 $\sim$ 由以下关系生成: $(a v) \otimes w \sim a (v \otimes w) \sim v \otimes (a w), (v_{1} + v_{2}) \otimes w \sim v_{1} \otimes w + v_{2} \otimes w, v \otimes (w_{1} + w_{2}) \sim v \otimes w_{1} + v \otimes w_{2},$ 其中 $a \in k,$ $v, v_{1}, v_{2} \in V,$ $w, w_{1}, w_{2} \in W$ . 在无歧义时, 张量积也被直接记为 $V \otimes W$ .

这一定义也可以推广到模.

定义 1.2 (模的张量积). 设 $A$ 是环, 设 $M_{1}$ 是 $A$ -右模, $M_{2}$ 是 $A$ -左模. 它们的张量积 $M_{1} \otimes_{A} M_{2}$ 是一 Abel 群, 其定义如下:

•	首先取形如 $m_{1} \otimes m_{2} (m_{1} \in M_{1}, m_{2} \in M_{2})$ 的元素生成的自由 Abel 群.
•	商去形如以下三类的元素生成的子群: $(m_{1} + m_{1}^{'}) \otimes m_{2} m_{1} \otimes (m_{2} + m_{2}^{'}) m_{1} a \otimes m_{2} - m_{1} \otimes m_{2} - m_{1}^{'} \otimes m_{2} - m_{1} \otimes m_{2} - m_{1} \otimes m_{2}^{'} - m_{1} \otimes a m_{2} .$ 其中 $m_{1}, m_{1}^{'} \in M_{1}$ , $m_{2}, m_{2}^{'} \in M_{2}$ , $a \in A$ .

在不引起歧义的情况下, 此张量积也简记为 $M_{1} \otimes M_{2}$ .

注 1.3. 在定义 1.2 中,

•	如 $M_{1}$ 是 $(B, A)$ -双模, 则 $M_{1} \otimes_{A} M_{2}$ 带有自然的 $B$ -左模结构, 由 $b (m_{1} \otimes m_{2}) = (b m_{1}) \otimes m_{2}$ 给出.
•	如 $M_{2}$ 是 $(A, C)$ -双模, 则 $M_{1} \otimes_{A} M_{2}$ 带有自然的 $C$ -右模结构, 由 $(m_{1} \otimes m_{2}) c = m_{1} \otimes (m_{2} c)$ 给出.

特别地, 如 $A$ 是交换环, 则 $A$ 上模的张量积仍为 $A$ -模.

注 1.4 (张量表示). 在表示论中, 我们把代数结构的表示视为某个 $k$ -代数 $A$ 上的模. 但张量表示一词通常并非指作为模的张量积, 而是指作为 $k$ -向量空间的张量积通过 $A$ 的 Hopf 代数结构 (如果有) 视为 $A$ -模.

2性质

伴随性

命题 2.1. 对 $A$ -右模 $M_{1}$ , $A$ -左模 $M_{2}$ , Abel 群 $N$ , 有下述 Abel 群同构: $Hom_{A} (M_{1}, Hom_{Z} (M_{2}, N)) ≃ Hom_{Z} (M_{1} \otimes_{A} M_{2}, N) .$ 如 $M_{1}$ , $M_{2}$ , $N$ 带有其它结构 (例如 $M_{1}$ 是 $(B, A)$ -双模, $N$ 是 $B$ -左模) , 此一同构也与这些结构相容.

特别地, 如 $A$ 是交换环, $N$ 是 $A$ -模, 有下述 $A$ -模同构: $Hom_{A} (M_{1}, Hom_{A} (M_{2}, N)) ≃ Hom_{A} (M_{1} \otimes_{A} M_{2}, N) .$

注 2.2. 上述命题在范畴论的语言之下可以表述为: $(- \otimes_{A} M) ⊣ Hom_{Z} (M, -) Mod_{A} ⇄ Ab$ 为 Abel 群范畴与 $A$ -右模范畴之间的伴随函子. 如具有上述其它结构, 也有类似伴随性. 例如对交换环 $A$ , $(- \otimes_{A} M) ⊣ Hom_{A} (M, -) Mod_{A} ⇄ Mod_{A}$ 为 $A$ -模范畴到其自身的伴随函子.

注 2.3. 对域 $k$ 上向量空间 $V_{1}, V_{2}$ , 上述同构即为 $Hom_{k} (V_{1}, Hom_{A} (V_{2}, k)) ≃ Hom_{k} (V_{1} \otimes V_{2}, k) .$ 左式即为 $V_{1}, V_{2}$ 上的多重线性函数, 右式即为 $V_{1} \otimes_{k} V_{2}$ 上的线性函数. 这即说明了张量积的定义确实符合其动机.

零元与单位元

命题 2.4 (零元). 对任意 $A$ -左模 $M$ , $A$ -右模 $N$ , 有如下同构: $0 \otimes_{A} M ≃ 0, N \otimes_{A} 0 ≃ 0, 0 \otimes m \mapsto 0, n \otimes 0 \mapsto 0.$ 其中 $0$ 表示零模.

命题 2.5 (单位元). 对任意 $A$ -左模 $M$ , $A$ -右模 $N$ , 有如下同构: $A \otimes_{A} M ≃ M, N \otimes_{A} A ≃ N, a \otimes m \mapsto am, n \otimes a \mapsto na .$

结合律

命题 2.6. 对 $A$ -右模 $M_{1}$ , $(A, B)$ -双模 $M_{2}$ , $B$ -模 $M_{3}$ , 有自然同构, 即范畴化的结合律, 与所有附加结构相容: $(M_{1} \otimes_{A} M_{2}) \otimes_{B} M_{3} ≃ M_{1} \otimes_{A} (M_{2} \otimes_{B} M_{3})$ 由 $(m_{1} \otimes m_{2}) \otimes m_{3} \mapsto m_{1} \otimes (m_{2} \otimes m_{3})$ 给出.

此同构满足五边形公理. 因此, 可以无歧义地将这个张量积写成 $M_{1} \otimes_{A} M_{2} \otimes_{B} M_{3} .$

注 2.7. 上述命题表明所有 $A$ -双模构成幺半范畴.

交换律

命题 2.8. 对交换环 $A$ 与 $A$ -模 $M_{1}, M_{2}$ , 有自然同构, 即范畴化的交换律, 与所有附加结构相容. $M_{1} \otimes_{A} M_{2} ≃ M_{2} \otimes_{A} M_{1},$ 由 $m_{1} \otimes m_{2} \mapsto m_{2} \otimes m_{1}$ 给出. 此一同构以及之前所述” 结合律 “满足六边形公理.

注 2.9. 上述命题表明交换环 $A$ 上的所有模构成对称幺半范畴.

分配律

命题 2.10. 对环 $A$ 上的右模 $M_{1} ， M_{1}^{'}$ 与左模 $M_{2}, M_{2}^{'}$ 有自然同构, 即范畴化的分配律, 与所有附加结构相容: $(M_{1} \oplus M_{1}^{'}) \otimes M_{2} ≃ (M_{1} \otimes M_{2}) \oplus (M_{1}^{'} \otimes M_{2}) M_{1} \otimes (M_{2} \oplus M_{2}^{'}) ≃ (M_{1} \otimes M_{2}) \oplus (M_{1} \otimes M_{2}^{'}) .$ 这里 $\oplus$ 表示直和.

注 2.11. 上述命题表明所有 $A$ -双模范畴上的幺半范畴 (或交换环 $A$ 模范畴上对称幺半范畴) 结构与加性范畴结构相容.

注 2.12. 张量积不与模范畴上的 Abel 范畴结构相容.

3相关概念

术语翻译

张量积 • 英文 tensor product • 德文 Tensorprodukt • 法文 produit tensoriel • 拉丁文 productum tensoriale • 古希腊文 τανυστικὸν γενόμενον

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张量积

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伴随性

零元与单位元

结合律

交换律

分配律

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