Gödel 可构造宇宙

集合论中, Gödel 可构造宇宙是 ZF 集合论中的一个类, 带有 Gödel 可构造层级结构. 通常将其记作 $L$ 或 $\text{L}$. Gödel 可构造宇宙是 Kurt Gödel 于 1938 年引入的, 他以此证明选择公理、强连续统假设与 ZF 的相对相容性.

1定义

和 von Neumann 宇宙类似, Gödel 可构造宇宙也是逐层级定义的. 从空集出发, 每一级是对上一级用分出公理模式可能分出的集合. 为此需现定义这些 “可能分出的集合”.

定义 1.1 (可定义子集, 不严格). 对集合 $A$, 称形如$$\{x\in A\mid A\models P(x,a_1,\dots ,a_n)\}$$的集合为 $A$ 的可定义子集, 其中 $a_1,\dots ,a_n\in A$, $P(x,y_1,\dots ,y_n)$ 为只含 $n+1$ 个自由变元的一阶公式. $A$ 的所有可定义子集组成的集合记作 $\mathcal{D}(A)$, 它是幂集 $\mathcal{P}(A)$ 的子集.

定义 1.2 (Gödel 可构造层级). 对序数 $\alpha$ 归纳定义集合 $L_{\alpha }$ 如下:

•	$L_0=\varnothing$.
•	$L_{\alpha +1}=\mathcal{D}(L_{\alpha })$.
•	对极限序数 $\alpha$, $L_{\alpha }={\bigcup }_{\beta <\alpha }{L}_{\beta }$.

这些 $L_{\alpha }$ 称为 Gödel 可构造层级.

定义 1.3 (Gödel 可构造宇宙). 定义类 $L={\bigcup }_{\alpha \in \text{Ord}}{L}_{\alpha }$, 称为 Gödel 可构造宇宙. 对 $x\in L$, 以 $\rho (x)$ 记最小的序数 $\alpha$ 使得 $x\in L_{\alpha +1}$, 称为 $x$ 的可构造层级.

以上 $\mathcal{D}(A)$ 的定义固然美好, 但由于一阶逻辑不能量化公式, 它并不严格. 所幸有如下办法将其徒手列举.

定义 1.4 (可定义子集, 严格). 对所有的 $n\in \mathbb{N}$ 同时地, 对 $m\in \mathbb{N}$ 归纳定义$$\mathrm{En}(m,A,n)=\{\begin{array}{ll}\{x\in A^n\mid x_i=x_j\},& m=2^i{3}^j,0\le i,j<n.\\ \{x\in A^n\mid x_i\in x_j\},& m=2^i{3}^{j}5,0\le i,j<n.\\ A^n\setminus \mathrm{En}(i,A,n),& m=2^i{3}^j{5}^2.\\ \mathrm{En}(i,A,n)\cap \mathrm{En}(j,A,n),& m=2^i{3}^j{5}^3.\\ \{{\mathrm{pr}}_{n+1,n}(X)\mid X\in \mathrm{En}(i,A,n+1)\},& m=2^i{3}^j{5}^4.\\ \varnothing ,& \text{其他.}\end{array}$$其中 ${\mathrm{pr}}_{n+1,n}$ 指将 $n+1$ 元组投影到前 $n$ 个变量, ${\mathrm{pr}}_{n+1,n}(X)$ 即 $X$ 在此映射下的像. 然后定义$$\mathrm{Df}(A,n)=\{\mathrm{En}(m,A,n)\mid m\in \mathbb{N}\}.$$则不难发现 $\mathrm{En}(m,A,n)$ 实为以自然数 $m$ 列举带 $n$ 个自由变元的一阶公式然后取出其所定义的子集, 而 $\mathrm{Df}(A,n)$ 就是 $A^n$ 中由这些公式定义的子集全体. 注意这句话是个元定理. 显然 $|\mathrm{Df}(A,n)|\le {\aleph }_0$.

最后定义$$\mathcal{D}(A)=\{\{x\in A\mid (s,x)\in R\}\mid n\in \mathbb{N},s\in A^n,R\in \mathrm{Df}(A,n+1)\},$$即由带一个取值在 $A$ 的自由变元和若干个 $A$ 中常元的公式定义出的子集全体. 显然 $\mathcal{D}(A)\subseteq \mathcal{P}(A)$, $|\mathcal{D}(A)|\le \max \{{\aleph }_0,|A|\}$.

2性质

首先是一些初等性质.

命题 2.1. 对传递集合 $A$, $A\subseteq \mathcal{D}(A)$ 且 $\mathcal{D}(A)$ 也传递. 于是每个 $L_{\alpha }$ 都是传递集合, 且对 $\beta \le \alpha$ 有 $L_{\beta }\subseteq L_{\alpha }$.

证明. 由 $A$ 传递, 对任意 $a\in A$ 有$$a=\{x\in A\mid x\in a\}\in \mathcal{D}(A),$$故 $A\subseteq \mathcal{D}(A)$. 这样由于 $\mathcal{D}(A)$ 的元素都是 $A$ 的子集, 它们也就是 $\mathcal{D}(A)$ 的子集, 于是 $\mathcal{D}(A)$ 传递.

至于后一句话, 前半句对 $\alpha$ 归纳, 在极限序数情形利用传递集合之并传递, 即知每个 $L_{\alpha }$ 都传递. 后半句显然只需证 $L_{\beta }\subseteq L_{\beta +1}$, 而由前所证 $L_{\beta }\subseteq \mathcal{D}(L_{\beta })=L_{\beta +1}$.

$\square$

推论 2.2. 对 $x\in L$, $x\in L_{\alpha }$ 当且仅当 $\rho (x)<\alpha$.

证明. 显然.

$\square$

命题 2.3. 对任意序数 $\alpha$, 都有 $L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }$, 其中 $V_{\alpha }$ 是 von Neumann 层级. 于是对 $x\in L$, $\rho (x)\ge \mathrm{rank}(x)$.

证明. 用归纳法. 极限序数情形显然. 后继序数情形是由于$$L_{\alpha +1}=\mathcal{D}(L_{\alpha })\subseteq \mathcal{P}(L_{\alpha })\subseteq \mathcal{P}(V_{\alpha }),$$其中最后一个包含由归纳假设得到.

$\square$

推论 2.4. 对序数 $\alpha$, $\rho (\alpha )=\alpha$.

证明. 用归纳法. 由于 $\rho (\alpha )\ge \mathrm{rank}(\alpha )=\alpha$, 只需证 $\rho (\alpha )\le \alpha$, 即 $\alpha \in L_{\alpha +1}$. 由序数的定义, $x\in \text{Ord}$ 是关于 $x$ 的一阶公式, 故由归纳假设有$$\alpha =\{x\in L_{\alpha }\mid x\in \text{Ord}\}\in \mathcal{D}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}.$$

$\square$

命题 2.5. 对 $\alpha \le \omega$, $L_{\alpha }=V_{\alpha }$; 对 $\alpha \ge \omega$, $|L_{\alpha }|=|\alpha |$.

证明. 用归纳法. 对 $\alpha <\omega$, $V_{\alpha }$ 都是有限集, 显然有限集每个子集都可定义, 所以总有 $L_{\alpha }=V_{\alpha }$. 取并即得 $L_{\omega }=V_{\omega }$, 显然为可数集. 现对 $\alpha \ge \omega$, 由 $L_{\alpha +1}=\mathcal{D}(L_{\alpha })$, 基数为 $\max \{{\aleph }_0,|L_{\alpha }|\}=|L_{\alpha }|=|\alpha |=|\alpha +1|$, 即知后继序数情形. 至于极限序数情形, 则是因为一方面$$|L_{\alpha }|=\left|\bigcup _{\beta <\alpha }{L}_{\beta }\right|\le \sum _{\beta <\alpha }|L_{\beta }|\le |\alpha {|}^2=|\alpha |,$$另一方面由 $\alpha \in L_{\alpha +1}$ 知 $\alpha \subseteq L_{\alpha }$, 于是 $|L_{\alpha }|\ge |\alpha |$.

$\square$

Gödel 可构造宇宙的一大好处是其上有典范良序. 这可以用来证明如 ZF 相容, 则选择公理也与之相容, 见下.

定理 2.6. $L$ 上有典范良序 ${<}_L$, 使得每个 $x\in L$ 的前段都是集合.

证明. 只需对序数 $\alpha$ 归纳作 $L_{\alpha }$ 的良序, 使得 $\alpha <\beta$ 时 $L_{\alpha }$ 是 $L_{\beta }$ 的前段.

极限序数不用做. 对后继序数 $\alpha +1$, 集合 $X\in L_{\alpha +1}=\mathcal{D}(L_{\alpha })$, 依 $\mathcal{D}$ 和 $\mathrm{Df}$ 的构造, 存在 $n,m\in \mathbb{N}$, $s\in L_{\alpha }^n$, 使得$$X=\{x\in L_{\alpha }\mid (s,x)\in \mathrm{En}(m,L_{\alpha },n+1)\}.$$以 $(n_X,m_X,s_X)$ 记满足上式的 $(n,m,s)$ 中字典序最小者, 其中 $s$ 依 $L_{\alpha }^n$ 的字典序, $L_{\alpha }$ 中良序由归纳假设已经做出. 然后定义 $X{<}_{L}Y$ 为: $X,Y\in L_{\alpha }$ 且 $X{<}_{L}Y$, 或者 $X\in L_{\alpha }$ 但 $Y\notin L_{\alpha }$, 或者 $X,Y\notin L_{\alpha }$ 且依字典序 $(n_X,m_X,s_X)<(n_Y,m_Y,s_Y)$. 由归纳假设以及良序的字典序还是良序, 易知这样作出的 ${<}_L$ 在 $L_{\alpha +1}$ 是良序.

$\square$

接下来是一些模型论性质.

命题 2.7. 定义 1.4 中的函数 $\mathrm{En}$ 与 $\mathrm{Df}$ 对 $\text{ZF}-\text{P}$ 即 ZF 去掉幂集公理的标准传递模型是绝对的. 换言之, 如两个传递类 $M\subseteq N$ 满足 $(M,\in )$ 和 $(N,\in )$ 都是 $\text{ZF}-\text{P}$ 的模型, 则对任意 $A\in M$, $m,n\in \mathbb{N}$, $\mathrm{En}(m,A,n)$ 与 $\mathrm{Df}(A,n)$ 在 $M$ 和 $N$ 中定义出同样的东西.

证明. 由外延公理、分出公理模式以及 $\mathrm{En}$, $\mathrm{Df}$ 的定义不难得到结论.

$\square$

推论 2.8. $L_{\alpha }$ 和 ${<}_L$ 对 $\text{ZF}-\text{P}$ 的标准传递模型是绝对的. 换言之, 如传递类 $M$ 满足 $(M,\in )$ 是 $\text{ZF}-\text{P}$ 的模型, 则对任意序数 $\alpha \in M$, 在 $M$ 中依定义 1.4, 定义 1.2 定义的 “$L_{\alpha }$” 就等于 $L_{\alpha }$, 且 $M$ 中定义的 “${<}_L$” 与 ${<}_L$ 一样; 特别地, $L_{\alpha }\subseteq M$.

证明. 由命题 2.7 立得.

$\square$

定理 2.9. $L$ 是包含所有序数的 $\text{ZF}-\text{P}$ 的标准传递模型中最小者, 且是 ZFC 的模型.

证明. 最小性自然来自推论 2.8. 需证 $L$ 是 ZFC 的模型.

外延公理	这是因为 $L$ 传递.
空集公理	显然.
二元集公理	显然.
并公理	显然.
幂集公理	$\mathcal{P}(x)\cap L$ 就是 $x$ 在 $L$ 中的幂集. 注意如果 $x\in L_{\alpha }$ 且 $\mathcal{P}(x)\cap L\subseteq L_{\alpha }$, 就有 $\mathcal{P}(x)\cap L\in L_{\alpha +1}\subseteq L$.
分出公理模式	需对任意 $A,a_1,\dots ,a_n\in L$ 以及公式 $P(x,w_1,\dots ,w_n)$ 证明$$\{x\in A\mid P(x,a_1,\dots ,a_n)\}\in L.$$设 $A,a_1,\dots ,a_n\in L_{\alpha }$. 本来定义 1.1 应使分出公理成立, 但这里的问题在于 $L_{\alpha }\models P(x,a_1,\dots ,a_n)$ 和 $L\models P(x,a_1,\dots ,a_n)$ 没有道理等价. 但由反映原理, 存在 $\beta >\alpha$ 使得对任意 $x\in L_{\alpha }$ 都有$$L_{\beta }\models P(x,a_1,\dots ,a_n)⟺L\models P(x,a_1,\dots ,a_n);$$这样便有$$\{x\in A\mid P(x,a_1,\dots ,a_n)\}\in L_{\beta +1}\subseteq L.$$
替换公理模式	需对任意 $A,a_1,\dots ,a_n\in L$ 以及公式 $Q(x,y,w_1,\dots ,w_n)$ 证明, 如对任意 $x$ 都至多有一个 $y$ 使得 $Q(x,y,a_1,\dots ,a_n)$ 成立, 就存在 $B\in L$ 使得对任意 $y\in L$, $y\in B$ 当且仅当存在 $x\in A$ 使得 $P(x,y,a_1,\dots ,a_n)$ 成立. 由于已经证明分出公理模式, 只需取序数 $\alpha$ 使得对满足 $Q(x,y,a_1,\dots ,a_n)$ 的 $x\in A$ 和 $y\in L$ 都有 $y\in L_{\alpha }$, 然后在 $L_{\alpha }$ 中分出即可. 这显然做得到.
良基公理	显然.
无穷公理	$\omega \in L_{\omega }\subseteq L$.
选择公理	由全局良序 ${<}_L$ 立得.

$\square$

推论 2.10. 如 ZF 相容, 则 ZFC 也相容. 即$$\mathrm{Con}(\text{ZF})⟹\mathrm{Con}(\text{ZFC}).$$

证明. 如 ZF 相容, 定理 2.9 说明 $L$ 是 ZFC 的模型, 从而 ZFC 相容.

$\square$

3可构造公理

定义 3.1. 可构造公理, 常记作 $\text{V=L}$, 指的是公理$$\forall x(x\in L).$$

注 3.2. 由于 $L$ 是真类, 这里 $x\in L$ 实际上是关于 $x$ 的一阶公式$$\exists \alpha (\alpha \in \text{Ord}\wedge x\in L_{\alpha }).$$当然如非要完全形式地写, $\alpha \in \text{Ord}$ 和 $L_{\alpha }$ 也应再展开.

定理 3.3. $L$ 满足可构造公理. 即$$L\models (\text{V=L}).$$

证明. 由推论 2.4, 推论 2.8, 定理 2.9 立得.

$\square$

推论 3.4. 如 ZF 相容, 则可构造公理与之相容. 即$$\mathrm{Con}(\text{ZF})⟹\mathrm{Con}(\text{ZF}+(\text{V=L})).$$

证明. 由定理 2.9 和定理 3.3 立得.

$\square$

注 3.5. Gödel 虽然作出这套理论并以此证明 GCH 相对 ZF 相容, 但他本人并不认为 $\text{V=L}$ 在他的理想集合论世界中成立. (有谁了解更多历史可以写写.)

4应用

推论 3.4 在相对相容性证明中很有用, 因为很多命题的真假在 ZF 中难以判断, 而在 $\text{ZF}+(\text{V=L})$ 中可以判断. 这样的命题包括:

•	选择公理
•	强连续统假设
•	菱形原理
•	方形公理
•	Suslin 假设
•	Whitehead 问题

5相关概念

•	Von Neumann 宇宙
•	反映原理
•	传递集合
•	内模型
•	可定义子集

术语翻译

Gödel 可构造宇宙 • 英文 Gödel’s constructible universe

Gödel 可构造层级 • 英文 Gödel’s constructible hierarchy

可构造公理 • 英文 axiom of constructibility