中心单代数

约定. 在本文中,

  • 和代数不必交换.

一个域 上的中心单代数指的是中心 且双边理想只有 和自身的 -代数. 上的有限维中心单代数给出其 Brauer 群的元素. Azumaya 代数是中心单代数在一般交换环乃至概形上的推广.

1定义

定义 1.1. 是域. 中心单代数指的是 -代数 , 其中心为 且双边理想只有 .

注 1.2. 若去掉 中心为 的条件, 可设其中心为 , 则 是 (交换) 域且为 扩张, 上中心单代数. 故只需研究中心单代数.

一般只考虑 上有限维中心单代数.

2性质

其最重要的刻画是 Wedderburn 定理:

定理 2.1 (Wedderburn). 上有限维中心单代数, 则存在 上除环 使 中心为 .

事实上, 上有限维中心单代数有如下等价刻画:

定理 2.2 (等价刻画). 上有限维代数 , 以下若干事等价:

1.

上中心单代数;

2.

存在中心除环 使 ;

3.

同构于某 ;

4.

同构于某 ;

5.

存在 Galois 扩张 使 .

定理 2.3 (模论)., 是除环, 则任意 -左模皆是若干 的直和, 其中 通过左乘作用在 上. 于是, -左模的范畴-左模的范畴等价. 特别地, 两个 -左模若作为 -模同构则作为 -模也同构.

引理 2.4. 上中心单代数, 则 亦然.

证明. 显然 中心为 . 取 的标准基, 设 的双边理想 包含非零元素 . 注意到 , 取 使 , 有 , 从而 . 由 单得到 , 故 , 即得 .

引理 2.5. 上有限维代数, 上有限维除环, 中心为 . 则 的双边理想 作为左 -向量空间被 生成.

证明., 反设 , 取 , 取 上一组基 并提升到 , 设这样 不全为 . 现在固定 , 取形如上式的等式中 非零者最少的 ( 不全为 , 不要求 ). 不妨 , 可左乘 使 . 现任取 , 考虑 不全为 , 则与上面 取法矛盾. 于是对任何 皆有 , 由假设 中心为 , 故 , , 故 , 矛盾.

定理 2.6. 上有限维中心单代数, 则 亦然.

证明. 先看中心, 的中心与 交换, 故包含于 ; 同理其也包含于 , 二者之交即为 .

再看单性. 由 Wedderburn 定理可取除环 使 . 那么有 . 由引理 2.4 可约化到 为除环的情形. 设 的双边理想, 由引理 2.5, 而 的双边理想, 故为 , 即证.

定理 2.7 (Skolem–Noether). 上有限维中心单代数的自同构都是内自同构.

命题 2.8 (特征多项式). 上有限维中心单代数, . 则存在映射 使 每个系数均为 上坐标的多项式, 且基变换到 上后, 的特征多项式 (定理 2.7 给出这特征多项式良好定义). 特别地, 称为 既约迹, 称为 既约范数.

3例子

对任意域 , 上中心单代数.

四元数环是 上除环, 所以是中心单代数. 由实数域 Brauer 群的结论, 上中心单代数只有 两种.

上面例子可推广如下: 设 , 对 , 考虑 , 乘法满足 , , , 则 是中心单代数, 称作四元数代数. 同构于 当且仅当 上有非零解. 将这构造与整体类域论给出的 的 Brauer 群的刻画相结合就得到二次互反律 (准确来讲是 Hilbert 符号的乘积公式).

4相关概念

Brauer 群

Wedderburn 定理

Azumaya 代数

术语翻译

中心单代数英文 central simple algebra法文 algèbre simples centrales