奇点范畴

奇点范畴是刻画概形奇性的稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 由概形的凝聚导出范畴商去完美复形组成的满子范畴得到.

1定义

定义 1.1 (环的奇点范畴). 设 $R$ 是凝聚环, $\mathsf{D}(R)$ 表示 $R$-模的导出 $(\infty ,1)$-范畴, 它是稳定 $(\infty ,1)$-范畴. 考虑其两个满子范畴:

•	凝聚导出范畴 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(R)$, 其对象为有界凝聚复形, 即只有有限个同调非零且都是有限表现模的复形.
•	完美复形范畴 $\mathsf{Perf}(R)$, 其对象为完美复形, 即有限长的有限生成投射 $R$-模复形.

显然它们也稳定, 且 $\mathsf{Perf}(R)\subseteq {\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(R)$. 商范畴 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(R)/\mathsf{Perf}(R)$ 称为 $R$ 的奇点范畴, 记作 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{sg}}(R)$.

注 1.2. 这里 $R$ 可以不交换; 只要 $R$ 左凝聚, 就可以考虑左 $R$-模的奇点范畴. 非交换代数中, 奇点范畴有时被称为稳定导出范畴; 这个名称与稳定 $(\infty ,1)$-范畴毫无关系, 而与表示论中的稳定模范畴密切相关.

定义 1.3 (概形的奇点范畴). 设 $X$ 是凝聚概形, $\mathsf{D}(X)$ 表示 $X$ 上拟凝聚复形的 $(\infty ,1)$-范畴, 它是稳定 $(\infty ,1)$-范畴. 考虑其两个满子范畴:

•	凝聚导出范畴 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(X)$, 其对象为只有有限个同调非零且都是凝聚层的复形.
•	完美复形范畴 $\mathsf{Perf}(X)$, 其对象为完美复形, 即在各仿射开集上都是环的完美复形者.

显然它们也稳定, 且 $\mathsf{Perf}(X)\subseteq {\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(X)$. 商范畴 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{coh}}^{\mathrm{b}}(X)/\mathsf{Perf}(X)$ 称为 $X$ 的奇点范畴, 记作 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{sg}}(X)$.

2性质

命题 2.1. 对左凝聚环 $R$, ${\mathsf{D}}_{\mathrm{sg}}(R)=0$ 等价于每个有限表现左 $R$-模的投射维数都有限; 这在 $R$ 交换、诺特时也等价于 $R$ 是正则环.

注 2.2. 于是当 $R$ 的整体维数有限时 ${\mathsf{D}}_{\mathrm{sg}}(R)=0$. 反过来不成立, 因为有无限维的正则环, 例子参见维数理论条目.

命题 2.3. 对诺特概形 $X$, ${\mathsf{D}}_{\mathrm{sg}}(X)=0$ 当且仅当 $X$ 是正则概形.

术语翻译

奇点范畴 • 英文 singularity category