导出 (∞,1)-范畴

导出 $(\infty ,1)$-范畴是导出范畴的高阶版本, 由 Abel 范畴的链复形范畴高阶地逆掉拟同构得到, 它是稳定 $(\infty ,1)$-范畴

1定义

对 Abel 范畴

定义 1.1. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则其导出 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$, 指其 $(\infty ,1)$-局部化范畴 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})[{\mathsf{W}}^{-1}]$, 其中 $\mathsf{W}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 为拟等价构成的宽子范畴. 设满子范畴 $\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 对链复形映射锥封闭. 定义 $\mathcal{C}$ 的导出 $(\infty ,1)$-范畴为 $\mathcal{C}$ 到 $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 的像. 当 $\mathcal{C}$ 为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形的满子范畴时, 其同伦 $(\infty ,1)$-范畴分别称为 (上同调) 上有界、下有界、有界链复形 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 ${\mathsf{D}}^{+}(\mathcal{A})$、${\mathsf{D}}^{-}(\mathcal{A})$、${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}(\mathcal{A})$.

对正合范畴

对正合范畴我们也可以定义其有界导出范畴.

2性质

定理 2.1. $\mathsf{D}(\mathcal{A})$ 是稳定无穷范畴.

3相关概念