切空间

光滑流形 $X$ 在某点 $x\in X$ 处的切空间, 记为 ${\mathrm{T}}_{x}X$, 是由该点处所有 “与 $X$ 相切的向量” 构成的实向量空间. 该向量空间的维数与 $X$ 的维数相等, 其元素称为切向量. 例如, 曲线的切线、曲面的切平面都是切空间的特例.

应更换更简洁的插图.

将光滑流形 $X$ 在所有点处的切空间粘起来, 可以得到 $X$ 上的光滑向量丛 $\mathrm{T}X$, 称为其切丛.

1定义

切空间可以对一般的光滑流形定义, 但该定义比较抽象. 另一方面, 对 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^N$ 的子流形 $X\subset {\mathbb{R}}^N$ 而言, 切空间具有更直观的定义. 我们先叙述这种直观的定义, 再叙述更抽象的一般定义.

对 Euclid 空间的子流形

定义 1.1 (切空间). 设 $N$ 是自然数, $X\subset {\mathbb{R}}^N$ 是子流形, 并设 $x\in X$. 则 $X$ 在 $x$ 处的切空间定义为向量空间$${\mathrm{T}}_{x}X=\left\{v\in {\mathbb{R}}^N|\begin{array}{l}\text{存在光滑曲线 }\gamma :]-1,1[\to X,\\ \text{使得 }\gamma (0)=x,{\gamma }^{\prime }(0)=v\end{array}\right\}.$$

由上述定义, 只能看出切空间为 ${\mathbb{R}}^N$ 的子集, 而不能直接得出其为子向量空间.

命题 1.2. 定义 1.1 中的切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 确实是 ${\mathbb{R}}^N$ 的子向量空间, 其维数等于 $X$ 的维数.

另一方面, 这一定义取决于流形在 Euclid 空间中的嵌入, 而不能直接看出切空间是流形内蕴的信息. 下面的一般定义解决了这一问题.

一般定义

对光滑流形 $X$, 记 $C^{\infty }(X)$ 为所有光滑函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 构成的实向量空间.

定义 1.3 (切空间). 设 $X$ 是光滑流形, 设 $x\in X$. 则

•	$X$ 在 $x$ 处的切向量是指一个线性函数$$v:C^{\infty }(X)\to \mathbb{R},$$满足对任意 $f,g\in C^{\infty }(X)$, 有 Leibniz 法则$$v(fg)=f(x)\cdot v(g)+g(x)\cdot v(f).$$这里, 我们把 $v(f)$ 理解成函数 $f$ 在点 $x$ 处沿着向量 $v$ 的方向导数.
•	$X$ 在 $x$ 处的切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 是 $X$ 在 $x$ 处的所有切向量构成的向量空间.

例 1.4. 若 $\gamma :]-1,1[\to X$ 为光滑映射, 即 $X$ 上的光滑曲线, 我们可以将 ${\gamma }^{\prime }(0)$ 以如下方式视为 $X$ 的切向量 (定义 1.3): 对 $f\in C^{\infty }(X)$, 定义$${\gamma }^{\prime }(0)(f)=\frac{d}{dt}f(\gamma (t)).$$这也就是 $f$ 沿 ${\gamma }^{\prime }(0)$ 的方向导数. 不难验证这一定义满足 Leibniz 法则, 从而确实给出了 $X$ 的切向量. 这一例子实际上是切映射的特例.

对复流形

...

2性质

基本性质

我们首先验证一些初步的性质. 例如, 我们证明切空间的维数等于流形维数, 并验证每个切向量都可以通过光滑曲线以类似定义 1.1 的方式给出, 从而该定义确实等价于定义 1.3.

引理 2.1. 设 $X$ 是光滑流形, $x\in X$, 设 $v\in {\mathrm{T}}_{x}X$ 是切向量 (定义 1.3). 则对 $f\in C^{\infty }(X)$ 而言, $v(f)$ 只取决于 $f$ 在 $x$ 附近的取值. 换言之, 如果 $f,g\in C^{\infty }(X)$ 在 $x$ 的一个邻域内相同, 那么 $v(f)=v(g)$.

证明.

证明. 注意到如果 $a,b\in C^{\infty }(X)$ 满足 $a(x)=b(x)=0$, 那么 $v(ab)=0$. 而根据假设, $f-g$ 在 $x$ 附近为 $0$, 从而能写成两个 $x$ 处取值为 $0$ 的函数的乘积.

$\square$

引理 2.2. 设 $X$ 是 $n$ 维光滑流形, $x\in X$. 则有向量空间同构 ${\mathrm{T}}_{x}X\simeq {\mathrm{T}}_0{\mathbb{R}}^n$.

证明.

证明. 我们记 $C^{\infty }(X{)}_x=C^{\infty }(X)/{\sim }_x$, 其中 $f{\sim }_{x}g$ 当且仅当 $f,g$ 在 $x$ 的某个邻域中相同. 设 $\phi :{\mathbb{R}}^n\to X$ 为一个坐标卡, 满足 $\phi (0)=x$. 则有交换图$$C^{\infty }(X{)}_x{C}^{\infty }({\mathbb{R}}^n{)}_0\mathbb{R}\text{ ,}{\phi }^{\ast }\simeq f\mapsto f(x)f\mapsto f(0)$$从而 $C^{\infty }(X{)}_x$ 与 $C^{\infty }({\mathbb{R}}^n{)}_0$ 上满足 Leibniz 法则的线性函数的空间也同构.

$\square$

引理 2.3. 向量空间 ${\mathrm{T}}_0{\mathbb{R}}^n$ 的维数是 $n$, 它的一组基是$$\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{x=0}(i=1,\dots ,n).$$

证明.

证明. 不难验证 $\frac{\partial }{\partial x^i}$ 确实是 ${\mathrm{T}}_0{\mathbb{R}}^n$ 的元素, 且线性无关. 我们说明任何切向量都是这些元素的线性组合. 若 $v\in {\mathrm{T}}_0{\mathbb{R}}^n$, 对任意 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 以及 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 由 Taylor 定理, $$f(x)=f(0)+\sum _{i=1}^n{x}^i\frac{\partial f}{\partial x^i}(0)+\sum _{i,j=1}^{n}O(x^i{x}^j).$$我们有 $v(f(0))=0$, 并且 $v(O(x^i{x}^j))=0$, 因为 $O(x^i{x}^j)$ 能写成两个在 $0$ 处取值为 $0$ 的函数的乘积. 因此, $$v(f)=\sum _{i=1}^{n}v(x^i)\frac{\partial f}{\partial x^i}(0).$$由于 $f$ 是任意的, 我们有$$v=\sum _{i=1}^{n}v(x^i)\cdot \frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{x=0},$$也就是说, $v$ 确实是 $\frac{\partial }{\partial x^i}$ 的线性组合.

$\square$

推论 2.4. 设 $X$ 是 $n$ 维光滑流形, $x\in X$. 则切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ (定义 1.3) 是 $n$ 维实向量空间.

证明.

证明. 由引理 2.2 和 2.3 立刻得出.

$\square$

推论 2.5. 设 $X$ 是光滑流形, 设 $x\in X$. 则对每个 $v\in {\mathrm{T}}_{x}X$ (定义 1.3), 存在光滑曲线 $\gamma :]-1,1[\to X$, 使得 $\gamma (0)=x$, 且 ${\gamma }^{\prime }(0)=v$, 其中 ${\gamma }^{\prime }(0)$ 是例 1.4 中定义的切向量.

特别地, 若 $X\subset {\mathbb{R}}^N$ 是子流形, 则 $X$ 的切空间确实由定义 1.1 给出. 更特别地, 定义 1.1 定义的切空间确实是实向量空间.

证明.

证明. 由引理 2.3, ${\mathbb{R}}^n$ 的每个切向量都可以由某条曲线 (例如直线) 给出. 取 $X$ 的坐标卡, 则引理 2.2 将 $v$ 对应于 ${\mathbb{R}}^n$ 的某切向量, 故在该坐标卡中就可以找到所需的曲线.

$\square$

3相关概念

术语翻译

切空间 • 英文 tangent space • 法文 espace tangent