换位子

在代数学中, 换位子 (也称为交换子、对易子) 衡量代数结构中乘法的非交换性. 元素 $a,b$ 的换位子常常记为 $[a,b]$, 在不同代数结构中有不同的定义.

1定义

在群中

在群 $G$ 中, 元素 $a,b$ 的换位子定义为$$[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab.$$若 $G$ 是 Abel 群, 则其中所有换位子均为 $G$ 的单位元.

在环、结合代数中

在环或结合代数 $A$ 中, 元素 $a,b$ 的换位子定义为$$[a,b]=ab-ba.$$若 $A$ 是交换环或交换代数, 则其中所有换位子均为 $0$.

在分次环或分次代数 $A$ 中, 常采用一种带符号的换位子, 称为分次换位子. 对齐次元 $a,b\in A$, 其分次换位子定义为$$[a,b]=ab-(-1{)}^{|a||b|}ba,$$其中 $|a|$ 和 $|b|$ 是 $a$、$b$ 的次数, 再将此定义线性延拓到整个环或代数上. 特别地, 在此定义下, 关系 $[a,a]=0$ 不再恒成立.

在 Lie 代数中

换位子是 Lie 代数定义的一部分, 即 Lie 代数中的 Lie 括号.

术语翻译

换位子 • 英文 commutator • 德文 Kommutator (m) • 法文 commutateur (m) • 日文 交換子 (こうかんし) • 韩文 교환자