正合列

正合列是指一列映射$$\cdots \to A\to B\to C\to \cdots ,$$其中每个映射的像都等于下一个映射的核.

无穷长的正合列也就是链同调都为零的链复形.

1定义

定义 1.1 (正合列). 设 $\mathcal{C}$ 是下列范畴之一:

•	一个 Abel 范畴;
•	带点集合范畴 ${\mathsf{Set}}_{\ast }$, 或群范畴 $\mathsf{Grp}$.

则 $\mathcal{C}$ 中的一个正合列是指 $\mathcal{C}$ 中的一列 (有限或无限的) 态射$$\cdots \to A\to B\to C\to \cdots ,$$其中每个映射的像都等于下一个映射的核.

定义 1.2 (短正合列). 形如$$0\to A\to B\to C\to 0$$的正合列 (定义 1.1) 称为短正合列, 其中 $0$ 是 $\mathcal{C}$ 的零对象.

2例子

例 2.1. 令 $X$ 是复平面, $\underline{\mathbb{Z}}$ 是 $X$ 上与 $\mathbb{Z}$ 结合的常值层, ${\mathcal{O}}_X$ 是全纯函数层, $\mathcal{F}$ 是由存在全纯的对数的函数组成的预层. 在预层范畴中, 存在如下正合列: $$0\to \underline{\mathbb{Z}}\stackrel{\times 2\pi i}{\to }{\mathcal{O}}_X\stackrel{\exp }{\to }\mathcal{F}\to 0.$$注意, $\mathcal{F}$ 不是层.

例 2.2. 记号同前, 现在令 ${\mathcal{O}}_X^{\ast }$ 是可逆全纯函数 (等价于无处为 0 的全纯函数) 层. 这是一个 Abel 群层, 运算为乘法. 在层范畴中, 有如下指数正合列: $$0\to \underline{\mathbb{Z}}\stackrel{\times 2\pi i}{\to }{\mathcal{O}}_X\stackrel{\exp }{\to }{\mathcal{O}}_X^{\ast }\to 1.$$

(...)

3性质

(...)

4相关概念

•	五引理
•	蛇形引理

术语翻译

正合列 • 英文 exact sequence • 德文 exakte Sequenz (f) • 法文 suite exacte (f) • 日文 完全系列