极大、极小元

注意区分本文与 “最大、最小元”.

在偏序集中, 极大元是指 “不能更大” 的元素, 即没有别的元素比它大的元素; 极小元是指 “不能更小” 的元素, 即没有别的元素比它小的元素.

极大、极小元不一定是最大、最小元. 例如, 给定集合 $X$, 则 $X$ 的所有非空子集按包含关系构成偏序集. 则对任何 $x\in X$, 单点集 $\{x\}$ 都是该偏序集的极小元, 但不是最小元. 但在全序集中, 极大、极小和最大、最小的概念等价.

1定义

定义 1.1. 设 $(X,\le )$ 为偏序集.

•	称 $x\in X$ 为极大元, 如果对任意 $y\in X$, 若 $x\le y$, 则 $x=y$.

•	称 $x\in X$ 为极小元, 如果对任意 $y\in X$, 若 $y\le x$, 则 $x=y$.

2例子

•	向量空间 $V$ 的基是 $V$ 的所有线性无关向量组按包含关系构成的偏序集中的极大元.

•	环 $R$ 的极大理想是 $R$ 的所有理想按包含关系构成的偏序集中的极大元.

3相关概念

术语翻译

极大元 • 英文 maximal element • 德文 maximales Element (n) • 法文 élément maximal (m)

极小元 • 英文 minimal element • 德文 minimales Element (n) • 法文 élément minimal (m)