二面体群

在群论中, 二面体群是一类基本的有限群. 对自然数 $n$, 二面体群 ${\mathrm{D}}_n$ 是正 $n$ 边形的所有对称变换构成的群, 即给定某个正 $n$ 边形, 考虑所有能使该正 $n$ 边形与自身重合的旋转、反射的操作, 这些操作所构成的群.

1定义

定义 1.1 (二面体群). 设 $n$ 为正整数. 则 $2n$ 阶二面体群 ${\mathrm{D}}_n$ 是由生成元 $r,s$ 和关系$$r^n=s^2=1,srs=r^{-1}$$定义的群. 这里, $r$ 称为旋转, $s$ 称为反射.

当 $n\ge 3$ 时, ${\mathrm{D}}_n$ 可视为正 $n$ 边形的所有对称变换构成的群, 即所有能使该正 $n$ 边形与自身重合的旋转、反射操作关于变换的复合构成的群.

2例子

•	${\mathrm{D}}_3$ 是正三角形对应的二面体群, 它包含 3 个旋转操作 (旋转 $0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$) 和 3 个反射操作, 共 6 个元素.

•	${\mathrm{D}}_4$ 是正方形对应的二面体群. 其中旋转操作有 $r^0=e$ (旋转 $0^{\circ }$) , $r^1$ (旋转 $90^{\circ }$) , $r^2$ (旋转 $180^{\circ }$) , $r^3$ (旋转 $270^{\circ }$) ; 反射操作 $s$ 有沿对角线和对边中点连线的 4 种, 总共 8 个元素.

3性质

基本性质

•	$|{\mathrm{D}}_n|=2n$, 这是因为正 $n$ 边形有 $n$ 种不同角度的旋转 (包括恒等旋转) 以及 $n$ 种不同的反射.

•	当 $n\ge 3$ 时, ${\mathrm{D}}_n$ 是非交换群. 例如在 ${\mathrm{D}}_4$ 中, 先旋转 $90^{\circ }$ 再沿某条对角线反射, 与先沿该对角线反射再旋转 $90^{\circ }$, 得到的结果不同, 即 $rs\ne sr$.

4相关概念

术语翻译

二面体群 • 英文 dihedral group