用户: 遗忘的左伴随/代数几何/六函子理论

符号说明. 在不涉及无穷范畴时, 导出范畴记为 $D$, 而在涉及无穷范畴的情况下导出范畴记为 $\mathcal{D}$.

本节讲述大名鼎鼎的六函子理论 ¹, 基本上为 [SixFunctors],[Ma22] 以及 [LZ12a] 的翻译, 六函子本质上是一种在合适范畴上建立各种上同调的形式化的手段, 本文的部分名词可能具有出入, 本文的前置知识将会在前面的笔记中提到, 如果没有写到可以给我发邮件催.

1六函子绪论

我们先来描述拓扑空间上的 6-函子理论. 此时取 $\mathcal{C}$ 为有限维局部紧 Hausdorff 空间 $X$ 构成的范畴, 我们对 $X$ 的上同调群 $H^i(X,\mathbb{Z})$ 比较感兴趣, 在这种情况下,$X$ 可能是一个 Cantor 集, 这个时候无法对其计算奇异上同调, 但是可以计算其层上同调. 为定义出这个层上同调, 我们考虑 $X$ 上的 Abel 层构成的 Abel 范畴 $\mathrm{Ab}(X)$ 以及整体截面函子$$\Gamma (X,-)=H^0(X,-):\mathrm{Ab}(X)\to \mathrm{Ab}$$它是左正合函子, 并且为 Abel 范畴, 因此具有足够的内射对象, 可以定义其右导出, 记其第 $i$ 个右导出为 $H^i(X,-):\mathrm{Ab}(X)\to \mathrm{Ab}$. 取定 $X$ 上的常值层 $\mathbb{Z}$ 就得到上同调群 $H^i(X,\mathbb{Z})$.
我们也可以考虑其直接作为导出函子的情况$$R\Gamma (X,-):D(\mathrm{Ab}(X))\to D(\mathrm{Ab})$$特别地, 我们思考 $X$ 的 Abel 层的导出范畴 $D(X,\mathbb{Z}):=D(\mathrm{Ab}(X))$. 可以发现 $R\Gamma (X,-)$ 关于 $X$ 是具有函子性的, 即, 对于任意的连续映射 $f:X\to Y$, 它可以诱导出一个正合的拉回函子 $f^{\ast }:\mathrm{Ab}(Y)\to \mathrm{Ab}(X)$, 进而诱导伴随对$$f^{\ast }:D(Y,\mathbb{Z})\leftrightarrows D(X,\mathbb{Z}):f_{\ast }$$此时当我们取 $Y=\ast$ 为一个单点时, 函子 $f^{\ast }$ 就是 “常值层函子” 并且此时 $f_{\ast }$ 就是上文所述的 $R\Gamma (X,-)$. 此时发现 $X$ 的上同调$$R\Gamma (X,\mathbb{Z})=f_{\ast }\mathbb{Z}=f_{\ast }{f}^{\ast }\mathbb{Z}\in D(\ast ,\mathbb{Z})=D(\mathbb{Z})$$可以很简单的用这些函子来表述.
除此之外, 对于拓扑空间时, 我们可以考虑紧合基变换, 对于一个拉回图表由$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}(g^{\ast }{f}_{\ast }A,(f^{\prime }{)}_{\ast }(g^{\prime }{)}^{\ast }A)& \simeq \mathrm{Hom}(f^{\prime \ast }{g}^{\ast }{f}_{\ast }A,g^{\prime \ast }A)\\ & \simeq \mathrm{Hom}(g^{\prime \ast }{f}^{\ast }{f}_{\ast }A,g^{\prime \ast }A)\\ & \uparrow f^{\ast }{f}_{\ast }A\to A\\ & \mathrm{Hom}(g^{\prime \ast }A,g^{\prime \ast }A)\end{array}$$可以导出典范的基变换态射 $g^{\ast }{f}_{\ast }A\stackrel{\text{base change}}{\to }{f}_{\ast }^{\prime }{g}^{\prime \ast }A$ 伴随于 $f^{\prime \ast }{g}^{\ast }{f}_{\ast }A\simeq g^{\prime \ast }{f}^{\ast }{f}_{\ast }A\stackrel{\text{counit}}{\to }{g}^{\prime \ast }A$

定理 1.1 (紧合基变换). 设 $f:X\to Y$ 是紧合映射, 取 $Y^{\prime }=\{y\}$ 得到的 $X^{\prime }=X\underset{Y}{\times }\{y\}=X_y$ 为纤维, 此时交换图表为具有同构$$R\Gamma (X_y,A):{\iota }_y{f}_{\ast }A\stackrel{\sim }{\to }{f}_{y,\ast }(A{\mid }_{X_y})\stackrel{f\text{紧合}}{=}(f_{\ast }A{)}_y$$可以推广为更一般的版本, 即 $Y^{\prime }$ 为任意拓扑空间的形式有自然的基变换同构 $g^{\ast }{f}_{\ast }\stackrel{\sim }{\to }{f}_{\ast }^{\prime }{g}^{\prime \ast }:D(X,\mathbb{Z})\to D(Y^{\prime },\mathbb{Z})$. 特别地,

证明. [温尊]讲义: 给几何人的平展上同调 13.1 中给出证明.

$\square$

定理 1.1 的特殊情况告诉我们在 $f$ 是紧合映射时, 可以对每个 $y\in Y$ 得到纤维上的同调理论, 而后利用 Grothendieck 的伟大思想, 我们将其拼接起来得到一个 $Y$ 上的上同调 $f_{\ast }A$(或者说 Relative version of cohomology), 这样对于任意的 $X\in \mathcal{C}$ 都可以定义出 $R\Gamma (X,\mathbb{Z})$. 在 $f$ 是紧合时, $f_{\ast }$ 还具有一个右伴随, 即 $f^{!}$, 接下来我们探讨相对一般情况下的 $f_{!}$ 与 $f^{!}$.
对于较良好的态射 $f$, 存在伴随对$$f_{!}:D(X,\mathbb{Z})\leftrightarrows D(Y,\mathbb{Z}):f^{!}$$使得有自然变换 $f_{!}\to f_{\ast }$, 在拓扑空间时一般称 $f_{!}$ 为取具有紧支集的截面的函子的导出函子, 当 $f$ 是紧合时为同构. $f^{!}$ 被称为反常拉回 (exceptional inverse image) 函子. 在上同调上还有一些重要结构.

定理 1.2 (Künneth 公式). 对于 $X,Y\in \mathcal{C}$, 则有自然同构$$R\Gamma (X,\mathbb{Z})\otimes R\Gamma (Y,\mathbb{Z})\simeq R\Gamma (X\times Y,\mathbb{Z})$$此处 $\otimes :D(\mathbb{Z})\times D(\mathbb{Z})\to D(\mathbb{Z})$ 是 $D(\mathbb{Z})$ 上的张量积, 即导出张量积.

我们在表述这个定理的时候就离不开 $D(\mathbb{Z})$ 的张量积, 当然我们也需要考虑任意 $X$ 上 $D(X,\mathbb{Z})$ 的张量积 (由通常的 $\mathrm{Ab}(X)$ 上的张量积导出而来, 亦即对称幺半结构) 因此, 我们考虑$$-\otimes -:D(X,\mathbb{Z})\times D(X,\mathbb{Z})\to D(X,\mathbb{Z})$$它也具有 (偏) 右伴随 (即内 Hom, 此时为闭对称幺半)$$\underline{\mathrm{Hom}}(-,-):D(X,\mathbb{Z}{)}^{\mathrm{op}}\times D(X,\mathbb{Z})\to D(X,\mathbb{Z})$$具体的伴随关系由伴随关系$$\mathrm{Hom}(A,\underline{\mathrm{Hom}}(B,C))\simeq \mathrm{Hom}(A\otimes B,C)$$如此, 我们得到了六个函子, 接下来我们对其重新进行排序.

第 1,2 个函子	$f^{\ast }⊣f_{\ast }$ 分别为第一个函子和第二个函子, 分别叫做拉回函子和前推函子.
第 3,4 个函子	$-\otimes -⊣\underline{\mathrm{Hom}}(-,-)$ 分别为第三个和第四个函子, 分别叫做张量积函子和内 Hom 函子.
第 5,6 个函子	$f_{!}⊣f^{!}$ 分别为第五个函子和第六个函子, 分别叫做紧合前推函子 2与反常拉回函子.

称此六元组 $(f^{\ast },f_{\ast },\otimes ,\underline{\mathrm{Hom}},f_{!},f^{!})$ 为六函子, 本节的主题就是这六个函子所构成的理论, 称为六函子理论, 在抽象的六函子理论开始前, 我们继续探讨拓扑空间上这六个函子.
这六个函子彼此之间也具有若干联系, 比如拉回函子 $f^{\ast }$ 是对称幺半函子, 即与张量积可交换:$$f^{\ast }(A\otimes B)\simeq f^{\ast }A\otimes f^{\ast }B$$注意到这些同构实际上是额外的数据, 应当进一步探讨其相容性. 幸运的是可以通过对称幺半范畴以及对称幺半函子理论对其进行解释, 此外张量积与前推函子也具有相容性 (在紧合的情况下)

定理 1.3 (投影公式). 令 $f:X\to Y$ 为紧合映射, 且 $A\in D(X,\mathbb{Z})$, $B\in D(Y,\mathbb{Z})$, 则有自然映射$$f_{\ast }A\otimes B\to f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B)$$为同构.

证明.

证明. 首先说明有自然映射 $f_{\ast }A\otimes B\to f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B)$, 不难发现伴随对 $f^{\ast }⊣f_{\ast }$ 给出自然态射 $f^{\ast }{f}_{\ast }A\to A$ 而后两边张量积上 $f^{\ast }B$ 得到$$f^{\ast }{f}_{\ast }A\otimes f^{\ast }B\to A\otimes f^{\ast }B$$然后由前文 $f^{\ast }$ 与张量积可交换可知可改写为 $f^{\ast }(f_{\ast }A\otimes B)\to A\otimes f^{\ast }B$ 而后利用伴随性可以得到自然映射$$f_{\ast }A\otimes B\to f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B)$$由定理 1.1 可设 $Y$ 为单点, 此时 $B$ 为张量幺元的若干平移余极限, 并且前文所有函子均与余极限可交换, 因此设 $B$ 为张量幺元即可.

$\square$

这个映射伴随于$$f^{\ast }(f_{\ast }A\otimes B)\simeq f^{\ast }{f}_{\ast }A\otimes f^{\ast }B\to A\otimes f^{\ast }B$$这下就可以证明定理 1.2. 事实上, 若 $X$ 和 $Y$ 均紧合且 $A\in D(X,\mathbb{Z}),B\in D(Y,\mathbb{Z})$, 则可以得到自然同构$$R\Gamma (X,A)\otimes R\Gamma (Y,B)\simeq R\Gamma (X\times Y,A⊠B)$$其中 $A⊠B:=p_1^{\ast }A\otimes p_2^{\ast }B\in D(X\times Y,\mathbb{Z})$. 而后考虑图表就可以得知$$\begin{array}{rl}R\Gamma (X\times Y,A⊠B)& =p_{\ast }(p_1^{\ast }A\otimes p_2^{\ast }B)\\ & =p_{X,\ast }(p_{1,\ast }(p_1^{\ast }A\otimes p_2^{\ast }B))\\ & \simeq p_{X,\ast }(A\otimes p_{1,\ast }{p}_2^{\ast }B)\\ & \simeq p_{X,\ast }(A\otimes p_X^{\ast }{p}_{Y,\ast }B)\\ & \simeq p_{X,\ast }A\otimes p_{Y,\ast }B=R\Gamma (X,A)\otimes R\Gamma (Y,B).\end{array}$$此外, 上同调还具有一个重要的结构特征: 对偶性.

定理 1.4 (Poincaré 对偶). 设 $X$ 是紧定向 $d$ 维流形. 则存在自然同构$$R\Gamma (X,\mathbb{Z})[d]\simeq R\Gamma (X,\mathbb{Z}{)}^{\vee }$$其中 $(-{)}^{\vee }=\underline{\mathrm{Hom}}(-,\mathbb{Z})$ 为 $D(\mathbb{Z})$ 的对偶函子.

换句话说, 在相差平移的意义下, 上同调是自对偶的. 事实上, 对于任意层 $A\in D(X,\mathbb{Z})$ 及其对偶 $A^{\vee }=\underline{\mathrm{Hom}}(A,\mathbb{Z})$:$$R\Gamma (X,A^{\vee })[d]\simeq R\Gamma (X,A{)}^{\vee }$$事实上, 可以将对偶 $\underline{\mathrm{Hom}}(-,\mathbb{Z})$ 中的 $\mathbb{Z}$ 改为任意的 $B\in D(\mathbb{Z})$, 这就得到$$R\Gamma (X,\underline{\mathrm{Hom}}(A,f^{\ast }B))[d]\simeq {\mathrm{Hom}}_{D(\mathbb{Z})}(R\Gamma (X,A),B)$$用范畴语言来说, 这意味着函子 $B\mapsto f^{\ast }B[d]$ 右伴随于 $f_{\ast }=R\Gamma (X,-):D(X,\mathbb{Z})\to D(\mathbb{Z})$. 我们有更加一般的结果:

定理 1.5 (Verdier 对偶). 令 $f:X\to Y$ 为紧合映射, 并且局部上为相对维数为 $d$ 的 “流形丛”(即局部上具有 $X\times \text{Ball}\to Y$ 的形式). 则前推函子 $f_{\ast }:D(X,\mathbb{Z})\to D(Y,\mathbb{Z})$ 具有右伴随$$f^{\ast }\otimes {\omega }_{X/Y}$$其中 ${\omega }_{X/Y}\in D(X,\mathbb{Z})$ 局部同构于 $\mathbb{Z}[d]$.

Poincaré 对偶中 “定向” 假设保证 $X$ 整体上具有 ${\omega }_{X/\ast }\simeq \mathbb{Z}[d]$. 这一形式的 Verdier 对偶需要 $f$ 结合全局假设 (紧合) 与局部假设 ($X\times \text{Ball}\to Y$); 这就使得直接的证明变得非常复杂. 这时候第 5,6 个函子的重要性就凸显出来 (可以把紧合假设丢掉). 应用他们可以将定理 1.5 改写为以下形式

定理 1.6 (Verdier 对偶). 令 $f:X\to Y$ 为相对维数为 $d$ 的 “流形丛”. 则 $f^{!}$ 同构于 $f^{\ast }\otimes {\omega }_{X/Y}$ 其中 ${\omega }_{X/Y}=f^{!}\mathbb{Z}$ 局部同构于 $\mathbb{Z}[d]$.

这样的局部形式的好处在于我们可以约化很多证明, 同样地, 对于紧合基变换也可以写为

定理 1.7 (基变换). 设 $f:X\to Y$, $g:Y^{\prime }\to Y$ 为连续映射, 则$$g^{\ast }{f}_{!}\simeq f_{!}^{\prime }{g}^{\prime \ast }.$$

如此就可以说明什么是 6-函子理论, 粗略的说: 这是一些由几何对象 (如拓扑空间, 概形,叠,解析空间,钻石等) 构成的范畴 $\mathcal{C}$ 以及一个从 $\mathcal{C}$ 到 (三角/稳定 $\infty$-/$\cdots$) 范畴的函子 $X\mapsto D(X)$, 并且具有满足上述相容性的六个函子 $(f^{\ast },f_{\ast },\otimes ,\underline{\mathrm{Hom}},f_{!},f^{!})$. 注意到每组中第二个函子总是右伴随于前一个函子; 拉回是对称幺半的; 并且 $f_{!}$ 满足定理 1.7 以及定理 1.3.
而一大问题就是在一般情况下如何去处理兼容性问题, 特别是按照当今惯例, 人们喜欢取 $D(X)$ 为稳定 $\infty$-范畴, 此外, 在一般的情况下形式地搭建前文所描述的那些定理—特别是 Poincaré 对偶, 通常都需要大量的工作.
本文的目的在于介绍 [SixFunctors],[Ma22] 所构建出的抽象 6-函子理论, 注意到我们只需要定义出 3 个函子而后取右伴随即可得到 6-函子, 因此本文分为几个部分, 首先明确 6-函子所适用的范围以及所需的相容性条件, 而后是 3-函子理论, 即定义出三个函子然后取右伴随构造 6-函子.

2目标

在前文中我们已然说明了拓扑空间上的六函子理论并且道出我们需要发展一个抽象的六函子理论. 接下来让我们明确一下该如何去发展这套理论, 首先给出一套几何设置:

•	由几何对象构成的范畴 $\mathcal{C}$,
•	$\mathcal{C}$ 中的一类态射 $E$, 任意 $f\in E$ 将被视为可以构造 “反常” 函子 $f_{!}$(以及 $f^{!}$) 的态射.

由于我们的理论一般只在 “好” 的情况下成立, 因此, 我们需要定义出 “好” 的条件

1.	范畴 $\mathcal{C}$ 具有所有的有限极限.
2.	态射类 $E$ 包含所有的同构, 在拉回以及复合下是稳定的.

接下来我们对于六个函子提出一些最基本的要求

1.	具有一个函子 $\mathcal{D}$ 将 $\mathcal{C}$ 中每个元素 $X$ 对应到 ($\infty$-) 范畴 $\mathcal{D}(X)$ 上.
2.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, $\mathcal{D}(X)$ 上都配备一个对称幺半结构 $\otimes$.
3.	对于任意态射 $f:X\to Y$, 拉回函子 $f^{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$ 与对称幺半结构相容, 并且与 $\mathcal{C}$ 中的态射复合相容.
4.	对于每个 $E$ 中的元素 $f$, 函子 $f_{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$ 与态射复合相容, 并且满足基变换以及投影公式的同构.
5.	此外以下函子应当具有右伴随 $-\otimes A$(即内 Hom 函子), $f^{\ast }$(即 $f_{\ast }$) 以及对于 $f\in E$ 有,$f_{!}$ 也具有右伴随.

条件 1.-3. 相当于给出了一个函子$${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{CMon}({\mathrm{Cat}}_{\infty })$$其中 ${\mathrm{Cat}}_{\infty }$ 表示

3三函子理论

脚注

1.	^ 你就是大名鼎鼎的 V 吧.
2.	^ 为后文的统一性, 以后改名叫做反常前推函子.

参考文献

[SixFunctors]	Peter Scholze (2022). Six Functor Formalisms. lecture notes.
[Ma22]	Mann, L. (2022). A $p$-Adic 6-Functor Formalism in Rigid-Analytic Geometry. arXiv preprint arXiv:2206.02022.
[LZ12a]	Liu, Y., & Zheng, W. (2012). Enhanced six operations and base change theorem for higher Artin stacks. arXiv preprint arXiv:1211.5948.
[HTT]	Lurie, J. (2009). Higher topos theory. Princeton University Press.
[HA]	Lurie, J. (2017). Higher Algebra.
[Kerodon]	Lurie, J. (2018). Kerdon.
[Land]	Land, M. (2021). Introduction to Infinity-categories. Springer Nature.
[温尊]	温尊. (2023). 讲义: 给几何人的平展上同调. 香蕉空间.