叠

叠是一种广义的空间. 与普通空间相比, 叠的特别之处在于, 叠里的点可以有非平凡的自同构群.

叠的概念起源于代数几何中对模空间的研究. 在有些情况下, 代数几何中的模空间并不是概形或代数空间, 正如圆锥面不是光滑流形 (见 §1 中的例子). 因此, 需要用代数叠来描述这些模空间, 称为模叠.

从高阶范畴论的观点看, 叠就是取值于群胚范畴 $\mathsf{Grpd}$ 或范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 的 $2$-层. 因此, 叠的几何也可以叫做 $2$-几何, 这是从普通几何走向高阶几何的第一步.

1想法

直观地看, 叠可以看成是一类空间, 其中的点可以带有非平凡的自同构群. 我们首先介绍两个叠的例子.

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设 $G$ 是 Lie 群. 则有一个微分叠 $[\ast /G]$, 这里 “微分叠” 是指该叠具有类似光滑流形的几何. 这个叠只有一个点, 但这个点的自同构群是 Lie 群 $G$. 我们可以谈论这个叠与其它光滑流形之间的映射. 若 $X$ 是光滑流形, 则 $X\to [\ast /G]$ 的一个映射等同于 $X$ 上的一个 $G$-主丛. 因此, $[\ast /G]$ 相当于是 $G$-主丛的分类空间, 称为分类叠. 但叠与分类空间的不同之处在于, $X\to [\ast /G]$ 的映射也可以有自同构, 正如 $X$ 上的 $G$-主丛可以有自同构. 因此, 映射空间 $\mathsf{Map}(X,[\ast /G])$ 实际上是一个群胚, 其对象是 $X$ 上的 $G$-主丛, 而态射是 $G$-主丛之间的同构. 由此也可以看出, $[\ast /G]$ 只有一个点的原因是, 其中的点等价于从单点流形 $\ast$ 到 $[\ast /G]$ 的映射, 即 $\ast$ 上的 $G$-主丛. 这样的 $G$-主丛是同构意义下唯一的, 其自同构群为 $G$. 另一方面, 对光滑流形 $X$, 若考虑 $[\ast /G]\to X$ 的映射, 则这个映射只能是常值映射, 也就是将整个 $[\ast /G]$ 映到 $X$ 的某个点. 这样, 我们就将这个奇怪的点 $[\ast /G]$ 放进了光滑流形的范畴, 作为其广义对象.

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考虑平面 $X={\mathbb{R}}^2$, 将其视为光滑流形. 设 $n\ge 2$ 为自然数, 记 $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 为循环群, 令 $G$ 以绕原点旋转 $2\pi /n$ 的方式作用于 $X$. 则有商叠 $[X/G]$. 它的点就是普通意义下群作用的商集 $X/G$ 的元素, 大概像是一个扇形把两条直边粘起来, 得到一个圆锥. 该群作用在原点以外没有不动点, 因此, 圆锥除了顶点以外的部分仍然具有光滑流形的结构. 另一方面, 原点的稳定化子是 $G$, 故商叠 $[X/G]$ 在原点处并不是普通的点, 而是一个同构于 $[\ast /G]$ 的点. 直观上看, 可以说这是 “$1/n$ 个点”, 因为这是 $1$ 个点除以一个 $n$ 阶群. 这也是轨形的一个例子. 若 $Y$ 是另一个光滑流形, 则 $Y\to [X/G]$ 的映射定义为二元组 $(E,f)$, 其中 $E\to Y$ 是 $G$-主丛, 而 $f:E\to X$ 是 $G$-等变映射. (这对一般的商叠也对.) 而 $[X/G]\to Y$ 的映射就简单很多, 这就是 $X\to Y$ 的 $G$-不变映射, 从而可以穿过 $[X/G]$. 这样, 我们就将一个类似圆锥的空间 $[X/G]$, 确切地说是轨形, 放进了光滑流形的范畴, 作为其广义对象.

一般来说, 要定义一个叠, 我们首先需要一个景 $\mathcal{C}$. 在上述例子中, 这个景就是光滑流形景, 即光滑流形的范畴配以拓扑. 这样, 要定义 $\mathcal{C}$ 上的叠 $X$, 只需对任何 $Y\in \mathcal{C}$, 定义一个映射空间 $\mathsf{Map}(Y,X)$. 我们已经看到, 这样的映射可能带有自同构, 故该映射空间实际上是个群胚. 因此, 我们大概得到一个函子$$\mathsf{Map}(-,X):{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Grpd},$$其中 $\mathsf{Grpd}$ 是群胚范畴.

事实上, 基于 Yoneda 引理类似的想法, 我们可以直接把 $X$ 与上述函子等同起来. 换言之, 我们直接把 $X$ 定义为一个函子$$X:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Grpd}.$$

但这里的问题是, $\mathsf{Grpd}$ 不是个普通的范畴. 它是个 $2$-范畴. 因此, 相应地, $X$ 也是一个 $2$-函子. 这一问题并不影响我们的直观, 只是具体写下一个定义变得麻烦了一些.

至此为止, 我们定义了一个通常称为 $2$-预层的对象. 定义叠的最后一步是要求其满足层公理, 也就是说, 对任何空间 $Y$, 我们要求从 $Y$ 到我们的叠的映射应该由 $Y$ 局部上的取值唯一确定. 这看起来是合理的要求, 但 $2$-范畴中的层公理又变得麻烦. 事实上, 它有一个专门的名字: “下降”.

这就是叠的完整定义. 若用一句话说明之:

•	叠是景上的取值于 $\mathsf{Grpd}$ 或 $\mathsf{Cat}$ 的 $2$-层.

这里, 我们允许叠的取值为 $\mathsf{Cat}$, 不过我们遇到的多数叠, 包括以上两例, 都是取值为群胚的叠. 两者的几何含义是不同的: 群胚叠是一个广义的空间, 而范畴叠则是一个 “带箭头的广义空间”, 或称为有向空间.

2定义

通过 $2$-函子

定义 2.1 (叠). 设 $\mathcal{C}$ 是景. $\mathcal{C}$ 上的叠 (或范畴叠) 是指一个 $2$-函子$$X:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Cat},$$满足以下条件:

•	(层性质) $X$ 将 $\mathcal{C}$ 中的开覆盖映到 $\mathsf{Cat}$ 中的 $2$-极限. 具体地说, 若 $\mathcal{U}=\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$ 是 $\mathcal{C}$ 中开覆盖, 记 $\check{C}(\mathcal{U})$ 为其 Čech 脉. 则 $X(U)$ 是 $2$-函子$$X(-):\check{C}(\mathcal{U}{)}^{\mathrm{op}}⟶\mathsf{Cat}$$的 $2$-极限.

这等价于以下两条性质:

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(分离性) 对任何 $U\in \mathcal{C}$, 以及任何对象 $x,y\in X(U)$, 函子$$\begin{array}{rl}({\mathcal{C}}_{/U}{)}^{\mathrm{op}}& \to \mathsf{Set},\\ V& \mapsto X(V)(x{|}_V,y{|}_V)\end{array}$$是景 ${\mathcal{C}}_{/U}$ 上的层. 也就是说, $x$ 到 $y$ 的态射满足层的粘接性质.

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(下降) 对 $\mathcal{C}$ 中的开覆盖 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$, 记 $U_{ij}=U_i{\times }_U{U}_j$, 及 $U_{ijk}=U_i{\times }_U{U}_j{\times }_U{U}_k$. 给定一族对象 $x_i\in X(U_i)$, 如果在每个 $X(U_{ij})$ 中给定了同构 $x_i{|}_{U_{ij}}\stackrel{\sim }{\to }{x}_j{|}_{U_{ij}}$, 使得 $X(U_{ijk})$ 中的图表$$(x_i{|}_{U_{ij}}){|}_{U_{ijk}}(x_j{|}_{U_{ij}}){|}_{U_{ijk}}(x_j{|}_{U_{jk}}){|}_{U_{ijk}}(x_i{|}_{U_{ik}}){|}_{U_{ijk}}(x_k{|}_{U_{ik}}){|}_{U_{ijk}}(x_k{|}_{U_{jk}}){|}_{U_{ijk}}\simeq \simeq \simeq \simeq \simeq \simeq$$交换, 那么存在对象 $x\in X(U)$, 以及 $X(U_i)$ 中的同构 $x{|}_{U_i}\stackrel{\sim }{\to }{x}_i$, 使得 $X(U_{ij})$ 中的图表$$(x{|}_{U_i}){|}_{U_{ij}}{x}_i{|}_{U_{ij}}(x{|}_{U_j}){|}_{U_{ij}}{x}_j{|}_{U_{ij}}\simeq \simeq \simeq \simeq$$交换. 该性质称为 “下降”, 因为它将基于 (处在上面的) 开覆盖的对象下降至基于 $U$ 本身的对象.

如果叠 $X$ 取值于群胚的范畴 $\mathsf{Grpd}$, 就称 $X$ 是群胚叠.

在文献中, “叠” 常指上述定义中的群胚叠, 而一般的叠则常称为 “范畴叠”.

注 2.2. 定义 2.1 等价于说, 叠是取值于 $\mathsf{Cat}$ 的 $2$-层 (即 $(2,2)$-层), 群胚叠是取值于 $\mathsf{Grpd}$ 的 $(2,1)$-层.

通过纤维范畴

注 2.3. 另一种等价定义为: 通过 Grothendieck 构造的观点将此函子视为纤维范畴 $\mathcal{S}\to \mathcal{C}$, 并满足相应的性质.

3例子

(...)

4相关概念

•	模叠
•	代数叠 ∘ Deligne–Mumford 叠
•	微分叠 ∘ 轨形
•	拓扑叠
•	$\infty$-叠、导出叠

5参考文献

•	The Stacks project — 7000+ 页的教科书, 从零开始构建代数几何和代数叠的理论.

术语翻译

叠 • 英文 stack • 德文 Stack (m) • 法文 champ (m)