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1$\infty$-范畴定义

本节只讲述部分必要的无穷范畴, 本文的 $\infty$-范畴是指$(\infty ,1)$-范畴且模型选定为拟范畴, 本文内容显然不能当做正常的 $\infty$-范畴学习资料, 具体内容可以参见 [HTT],[Kerodon] 以及 [Land], 本文主要参考 [Land],[Kerodon] 以及相关网课 [Münster]. 初学者入门推荐阅读 [卜辰璟].
为了说明一个 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 应当是什么样的, 不妨考虑两个极端的情况. 若 $\mathcal{C}$ 中的每个态射均可逆, 则 $\mathcal{C}$ 等价于一个拓扑空间 $X$ 的基本 $\infty$-群胚. 此时高阶范畴论约化为经典的同伦论. 而若 $\mathcal{C}$ 在 $n>1$ 时没有非平凡 $n$-态射, 此时 $\mathcal{C}$ 等价于一般的范畴. 因此, 一般情况应该抓住这二者共同的特征, 即我们需要一类表现形式既像范畴又像拓扑空间的对象, 而这就是单纯集.

以下为无穷范畴,Kan 复形, 单纯集, 拓扑空间之间的关系.本节来讲述 Kan 复形以及拟范畴理论, 在此之前请回忆在导言中所提到过 “我们需要一类表现形式既像范畴又像拓扑空间的对象.” 这将在后文描述出拟范畴时起到巨大作用.

定义 1.1 (Kan 复形). 令 $X$ 为一个单纯集. 若所有的尖角均可填充, 即对于 $0\le i\le n$ 以下图表交换. 则称 $X$ 为 Kan 复形.

接下来我们展现单纯集的便利性, 根据单纯集. 注记 3.22, 可知当 $X$ 是 Kan 复形时, 它会作为一个 $\infty$-群胚, 而当其满足内尖角填充性质时, 它可以根据单纯集. 命题 3.21(脉的刻画). 来变成一般的范畴. 基于这一观察, 我们希望可以得到一些更合适的单纯集来作为一般的 $\infty$-范畴的模型.

首先考虑任意一个单纯集 $X$. 我们可以尝试着将 $X$ 想象成一个范畴, 首先 $X$ 中的点 (即 $X_0$ 的元素) 就是其对象, 态射则为 $X$ 中的边 ($X_1$ 中的对象). 一个 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 应当被视为图表以及 $\theta$ 与 $\psi \circ \varphi$ 的同伦, 这将被视为图表的 “交换性”(在高阶范畴论中, 交换性不仅仅是一个条件: 同伦 $\theta \simeq \psi \circ \varphi$ 是额外的资料.) 高阶单形可以被认为反映了高阶图表的交换性.

坏消息是, 对于一般的单纯集 $X$, 上文的类比就略显乏力. 这个问题的本质在于, 哪怕我们可以把 $X$ 中的 $1$-单形视为态射, 但是它们的合成却不总是存在. 比如说取 $N\mathcal{C}$ 这个例子, 对于态射 $\theta :A\to C$, 若存在一个 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 使得其表现为前文所示的交换图则称 $\theta$ 为态射 $\varphi :X\to Y$ 与态射 $\psi :Y\to Z$ 的合成. 现在我们需要考虑两个潜在的问题:

•	所需的 $2$-单形 $\sigma$ 不一定总是存在.
•	即使其存在也不一定唯一, 即我们可能不止 $\theta$ 一个选择.

存在性要求 $\sigma$ 总是可以被表述为单纯集 $X$ 的延拓条件. 注意到可组合的态射偶 $(\psi ,\varphi )$ 事实上确定了一个单纯集间的映射 ${\Lambda }_1^2\to X$. 因此, 断言 $\sigma$ 总是能够被表述为一个延拓条件: 任意形如 ${\Lambda }_1^2\to X$ 的单纯形间的映射都可以延拓到 ${\Delta }^2$ 上, 归结为以下图表而 $\theta$ 的唯一性又是另一个问题. 事实证明要求 $\theta$ 被唯一确定是不必要 (并且不自然) 的. 为了说明这一点, 让我们回到例 ?? 上. 对于群胚中的两条道路, 若它们同伦则被认为是等价的. 基本群胚中, 复合是由道路的合成给出的, 即给定道路 $q,p:[0,1]\to X$ 使得 $p(0)=x$ 而 $p(1)=q(0)=y$, 且 $q(1)=z$, 则 $p$ 与 $q$ 的复合应当为一条连接 $x$ 与 $z$ 的道路. 有很多方法得到这样连接 $p$ 与 $q$ 的道路. 最简单的方式无非是$$r(t)=\{\begin{array}{cc}p(2t)& \text{若}0\le t\le \frac{1}{2}\\ q(2t-1)& \text{若}\frac{1}{2}\le t\le 1.\end{array}$$然而, 同样可以使用以下方式进行合成$$r^{\prime }(t)=\{\begin{array}{cc}p(3t)& \text{若}0\le t\le \frac{1}{3}\\ q(\frac{3t-1}{2})& \text{若}\frac{1}{3}\le t\le 1.\end{array}$$由于 $r$ 与 $r^{\prime }$ 是同伦的, 因此这并不妨碍选取.
但是从 $2$-范畴的角度上进行考虑时, 这个问题就变得复杂了. 考虑拓扑空间 $E$ 的基本 2-群胚, 为使得态射的合成有明确的定义, 我们必须选择一个等式来代替全部等式. 此外, 这并没有一个特别合适的选择. 举个例子, 前文所述的两个等式都无法表示严格的结合律.
这个教训给我们带来了一个启发: 在高阶范畴处, 我们不应该要求两个态射具有唯一确定的组合 (即唯一的填充). 在基本群胚的例子中, 道路的复合有许多种选择, 但是它们是相互同伦的. 此外, 根据高阶范畴论的哲学原理: 任何与复合同伦的道路都应当与复合本身一样好. 从这一点出发, 我们应当将复合视为一种关系而非函数, 这在单纯集的形式中可以很好地得到展现: 一个 2-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 应当被视为 $d_0(\sigma )\circ d_2(\sigma )$ 同伦于 $d_1(\sigma )$ 的 “证据”.

那么具体是什么样的条件才能够保证一个单纯集 $X$ 表现得像一个更高阶的范畴呢? 基于前文的讨论, 我们发现这只需要让 $X$ 满足对于尖角 ${\Lambda }_i^n$ 的填充性质, 但是根据注记 ?? 以及命题 ?? 可知只需要对于内尖角进行填充即可. 因此得到定义

定义 1.2. $\infty$-范畴是一个满足以下性质的单纯集 $X$: 对任意的 $0<i<n$ 以及任意单纯集间的映射 ${\Lambda }_i^n\to X$, 都可以填充为 $f:{\Delta }^n\to K$.

例 1.3. 前文所述的 Kan 复形以及脉均为 $\infty$-范畴的例子.

定义 1.4. $\infty$-范畴 $X$ 与 $Y$ 之间的函子即为相应单纯集之间的映射. 换句话说, $\infty$-范畴所构成的范畴实际上是 $\mathsf{sSet}$ 的全子范畴.

由前文关于 $\infty$-范畴的讨论可以得到以下概念:

定义 1.5 ($1$-单形等价). 令 $X$ 为单纯集, 称两个从 $x$ 到 $y$ 的 $1$-单形 $f$ 和 $g$ 是等价的当且仅当存在一个 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 使得

1.	$\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{0,1\}}}=f$.
2.	$\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{0,2\}}}=g$.
3.	$\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{1,2\}}}={\mathrm{id}}_y$.

而后我们研究如何将单纯集对应到一般范畴上.

定义 1.6 (同伦范畴). 令 $X$ 为单纯集, 定义范畴 $hX$ 为以下资料:

•	对象:$X_0$ 中的元素.
•	态射:$X_1$ 所生成的态射, 对于任意 1-单形 $f:{\Delta }^1\to X$, 它都被视为从 $d_1(f)$ 到 $d_0(f)$ 的态射.
•	复合: 态射箭的自由复合记为 $f\star g$, 商去以下关系 1. 1-单形 $s_0(x)$ 是 $x$ 的恒等态射. 2. 对于每个 $2$-单形 $\sigma :{\Delta }^2\to X$ 且边界为三元组 $(f,g,h)$, 则 $h=g\star f$/ 3. 若 $f\sim f^{\prime }$ 则 $f\star g\sim f^{\prime }\star g$ 且 $g^{\prime }\star f\sim g^{\prime }\star f^{\prime }$.

称其为 $X$ 的同伦范畴, 同伦范畴中的态射称为同伦类.

并且同伦范畴与脉有以下伴随关系

命题 1.7. 具有伴随对 $h⊣N$ $$h:\mathrm{sSet}\leftrightarrows \mathrm{Cat}:N$$其中 $N$ 为范畴的脉. 且有 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$.

证明.

证明. [Land]Proposition 1.2.18. 其中 $h(N(\mathcal{C}))\simeq \mathcal{C}$ 读者自证不难.

$\square$

若 $X=\mathcal{C}$ 为无穷范畴, 则可通过同伦范畴来描述其内一些箭头的性质.

定义 1.8 (等价). $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f$ 若其在 $h\mathcal{C}$ 的像为同构, 则称其为等价.

此外, 我们可以引入 $\infty$-群胚.

定义 1.9. 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 若其内所有态射皆为等价, 则称其为 $\infty$-群胚.

我们可以在 $\infty$-范畴内部去定义其子 $\infty$-群胚.

定义 1.10 (极大子 $\infty$-群胚). 在一般范畴中极大子群胚由其内所有同构所构成的子范畴, 并且记为 ${\mathcal{C}}^{\simeq }\subset \mathcal{C}$. 对于 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 可以类似定义其极大子 $\infty$-群胚为单纯集的拉回

注 1.11. 对于一般范畴 $\mathcal{C}$ 有 $N(\mathcal{C}{)}^{\simeq }=N({\mathcal{C}}^{\simeq }$ 这只需要考虑以下交换图由命题 1.7 可知同构.

不难看出 $\infty$-范畴中 $n$-单形在极大子 $\infty$-群胚中当且仅当其所有边均为等价.

命题 1.12. $\infty$-范畴中的极大子 $\infty$-群胚确实是一个 $\infty$-群胚, 并且是 $\infty$-范畴所包含的最大 $\infty$-群胚.

证明.

证明. 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 首先证明 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 为一个 $\infty$-范畴. 这需要证明其满足内尖角填充性质. 因此考虑图表其中 $0<i<n$. 由于 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴, 因此该提升问题在 $\mathcal{C}$ 中必然有解, 只需要证明解落在 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 中即可, 根据 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 的定义, 这相当于要证明 ${\Delta }^n\to \mathcal{C}$ 诱导态射$${\Lambda }_i^n\to {\Delta }^n\to \mathcal{C}\to N(h\mathcal{C})$$并且其像包含在 $N(h{\mathcal{C}}^{\simeq })$ 内. 回忆到范畴的脉中 $n$-单形由其限制在脉的脊上所决定而每一个内尖角都包含脊, 从而断言成立. 这也说明 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 包含 $\mathcal{C}$ 中所有的等价. 特别地, 可以得到 $h({\mathcal{C}}^{\simeq })=(h\mathcal{C}{)}^{\simeq }$, 因此 ${\mathcal{C}}^{\simeq }$ 是 $\infty$-范畴, 而且蕴含极大性.

$\square$

定理 1.13 (Joyal). 设 $\mathcal{C}$ 为 $\infty$-范畴. 则 $\mathcal{C}$ 为 Kan 复形当且仅当 $h\mathcal{C}$ 为群胚.

证明.

证明. 见 [JOYAL2002207].

$\square$

事实 1.14. 群胚不是群的推广而是集合的推广, 这是因为群的 $1$-范畴不等价于单对象群胚的 $2$-范畴. 只有在选定基点后, 才能够典范的取出群. 当然, 群胚这一概念比群更加基本, 因为其没有代数结构. 在高阶范畴论中, $\infty$-群胚可以视为集合一类的最为基础的结构, 因为如绪言所说, 它本身对应于拓扑空间.

本节以一些 Kan 复形的性质以及定义作为结尾.

定义 1.15 (Kan 复形的基本群胚). 当 $X$ 为 Kan 复形时, 群胚 $hX$ 称为 $X$ 的基本群胚, 记为 ${\pi }_{\le 1}(X)$.

例 1.16.

•	Kan 复形在乘积下稳定.
•	Kan 复形在余积下稳定, 或者说若 $S={⨆}_{i\in I}{S}_i$ 则 $S$ 为 Kan 复形当且仅当 $S_i$ 均为 Kan 复形.

命题 1.17. $\mathsf{sSet}$ 中的群对象的底单纯集是 Kan 复形.

证明.

证明. 见 [Kerodon][00MG].

$\square$

命题 1.18. 若 $S={\prod }_{i\in I}{S}_i$ 为 Kan 复形, 则$${\pi }_0(S)\to \prod _{i\in I}{\pi }_0(S_i)$$为双射. 特别地,$S$ 是连通的当且仅当 $S_i$ 均连通.

2本节习题

练习 2.1. 验证: 对于拓扑空间 $E$, 其对应的奇异单纯集 $\mathrm{Sing}(E)$ 是 Kan 复形.

提示. 利用几何实现函子, 可以将 ${\sigma }_0:{\Lambda }_i^n\to \mathrm{Sing}(E)$ 转化为 $f_0:|{\Lambda }_i^n|\to E$. 只需要说明 $f_0$ 可以写为分解$$|{\Lambda }_i^n|\hookrightarrow |{\Delta }^n|\stackrel{f}{\to }E$$即可. 为此, 可以利用 ${\Lambda }_i^n$ 的几何实现与 $|{\Delta }^n|$ 之间的关联.

练习 2.2 (骨架与同构). 令 $f:X\to Y$ 为诱导出 $2$-骨架之间同构 ${\mathrm{sk}}_2(X)\to {\mathrm{sk}}_2(Y)$ 的单纯集之间的映射, 试证明其诱导的同伦范畴之间的函子 $hf:hX\to hY$ 为同构.

练习 2.3 (填色游戏). 令 $X$ 为脊可填充 (即 $I^n\to {\Delta }^n$ 满足提升性质) 且对于 $3$-内尖角具有提升性质, 令 $f$ 和 $g$ 为 $\mathcal{C}$ 中可复合的 $1$-单形. 则

1.	存在 $f$ 与 $g$ 的复合.
2.	定义 1.5 所提出的 “等价” 确实是一个等价关系.
3.	任意两个可复合的态射 $f$ 和 $g$ 在定义 1.5 的意义下是等价的.
4.	给定 $2$-单形 $\sigma$, 且 $\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{0,1\}}}={\mathrm{id}}_x$,$\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{1,2\}}}=h$,$\sigma {\mid }_{{\Delta }^{\{0,2\}}}=h^{\prime }$, 则 $h^{\prime }\sim h$.

提示. 1. 是由定义立刻得出的而 2.,3.,4. 都是填色游戏, 比如 2. 中对称性可以考虑利用填充性质进行涂色即可, 传递性考虑剩下命题请读者自行涂色.

练习 2.4. 范畴的脉是 $2$-余骨架.

提示. 考虑交换图表利用伴随性以及前文练习验证交换性即可.

练习 2.5. $\infty$-范畴的乘积以及余积均为 $\infty$-范畴.

提示. 对于乘积的情况, 我们可以单独对于每个 $\infty$-范畴进行处理, 然后延拓到乘积之上.
对于余积的情况, 我们注意到 ${\Lambda }_i^n$ 以及 ${\Delta }^n$ 都是连通的, 因此我们只需要在一个 $\infty$-范畴上解决延拓问题即可.

脚注

参考文献

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