用户: Xavior/代数叠

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

我总是记不住叠计划中各种叠的定义和它们的关系. 我想, 或许应当把所有这些叠的公共范畴写出来, 转而刻画它们各自的满子范畴, 这样会好记些. 我决定试试.

引言

Clausen 和 Scholze 最近的工作表明, 所有解析几何对象都能置入同一个解析叠范畴之中.

代数几何比解析几何简单, 它理应也是如此. 换言之, 一切 (导出) 代数几何都可以写进同一个 “代数叠” 范畴. 古人向来有这样的直观, 但囿于过去高阶范畴论尚不完善, 二十世纪的叠论工作往往只能以 $2$-范畴论描述 $1$-截断的 “代数叠”. 近年来, 同伦论家和范畴论家 (特别是 Lurie) 辛勤工作, 为$(\infty ,1)$-范畴论打好了地基, 我们终于可以在整个 “代数叠” 范畴中工作了.

本文尝试给出 “代数叠” 范畴的定义, 并说明如何将已知的代数几何对象 (概形,形式概形,代数空间,Deligne–Mumford 叠, Artin 叠) 放入其中.

警告. 本文的 “代数叠” 意指 “一切代数几何所用之叠”, 这与通常用法 (指具有良好的 “有限性”, 因而是 “代数的” 叠) 不同; 常见的 “代数叠” 在本文中叫做 $1$-Artin 叠.

1何为代数叠

我们在抽象代数课上曾见过交换环和它们的范畴 $\mathsf{CRing}$. 交换环能加能乘, 性质十分奇妙, 但 $\mathsf{CRing}$ 这个范畴不方便做同调代数. 为此, 我们稍微引入一点 “同伦加厚”.

定义 1.1 (生象交换环).

定义 1.2 (预叠).

定义 1.3 (导出范畴).

定义 1.4 (可下降拓扑).

定义 1.5 (代数叠).

注 1.6. 为什么不用 “导出环” 定义代数叠?

•	仿射叠的理论说明生象环叠足以刻画截断的导出环.

目前这就够用了.

2例子

概形

代数空间

古典叠