真等变谱

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

真等变谱是谱的等变同伦论类比, 是等变稳定同伦论的基本研究对象.

1定义

传统上, 真等变谱是用正交谱的模型范畴定义的. 这里我们直接采用 $(\infty ,1)$-范畴论定义.

设 $G$ 是紧 Lie 群或投射有限群. 沿用等变生象条目中的记号, 以 ${\mathsf{Ani}}_G$ 记 $G$-生象的范畴, 并考虑带基点范畴 $({\mathsf{Ani}}_G{)}_{\ast }$, 按缩积视为对称幺半范畴. 对 $G$ 的每个有限维实表示 $V$, 回忆表示球指带基点 $G$-生象 $S^V$, 它把 $A\in {\mathsf{Orb}}_G$ 打到实线性空间 ${\mathrm{Map}}_G(A,V)$ 的一点紧化, 视为带基点生象.

定义 1.1 (真 $G$-谱). 真 $\mathbf{G}$-谱的范畴 ${\mathsf{Sp}}_G$ 是可表现对称幺半范畴 $({\mathsf{Ani}}_G{)}_{\ast }$ 逆掉表示球所得范畴. 具体地说, $({\mathsf{Ani}}_G{)}_{\ast }\to {\mathsf{Sp}}_G$ 是从 $({\mathsf{Ani}}_G{)}_{\ast }$ 出发、保余极限、把所有表示球打到可逆对象的对称幺半函子中初始者. ${\mathsf{Sp}}_G$ 的对象称为真 $\mathbf{G}$-谱.

注 1.2. 用抽象废话不难得到 ${\mathsf{Sp}}_G$ 存在, 为紧生成对称幺半范畴, 有紧幺元, 张量积保持紧对象. 这是因为 $({\mathsf{Ani}}_G{)}_{\ast }$ 有这些性质, 且表示球在其中紧.

注 1.3. 一维平凡表示的表示球即 $S^1$. 故 $S^1$ 在 ${\mathsf{Sp}}_G$ 中可逆, 即函子 $\Sigma (-)=S^1\otimes -$ 是等价, 故 ${\mathsf{Sp}}_G$ 是稳定范畴.

用 Mackey 函子

对投射有限群 $G$, 真 $G$-谱也可使用 Mackey 函子定义.

定义 1.4 ($\mathsf{Span}$ 构造). 设范畴 $\mathcal{C}$ 有任意纤维积. $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 指对象和 $\mathcal{C}$ 一样, 但 $X,Y\in \mathcal{C}$ 间的映射为形如 $X\leftarrow S\to Y$ 的图表, 复合规则为$$(Y\leftarrow T\to Z)\circ (X\leftarrow S\to Y)=(X\leftarrow S{\times }_{Y}T\to Z)$$的范畴. 更严格地说, $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 作为完备 Segal 生象定义为$$[n]\mapsto {\mathrm{Fun}}_{\mathrm{cart}}([n{]}_{+}^2,\mathcal{C}),$$其中 $[n{]}_{+}^2$ 为 $[n{]}^{\mathrm{op}}\times [n]$ 的满子范畴, 由顶点集 $\{(i,j)\mid i\ge j\}$ 生成, ${\mathrm{Fun}}_{\mathrm{cart}}$ 表示保持纤维积的函子组成的生象.

注 1.5. 如 $\mathcal{C}$ 是 $1$-范畴, 则 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 仅仅是 $(2,1)$-范畴, 也可手动定义.

注 1.6. 如 $\mathcal{C}$ 还有任意有限余积, 则不难发现 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 为半加性范畴, 直和对应 $\mathcal{C}$ 中余积, 映射加法也是余积.

以 ${\mathsf{Fin}}_G$ 表示带 $G$ 作用的有限集构成的范畴.

定义 1.7 ($G$-Mackey 函子). 设 $\mathcal{A}$ 为半加性范畴. 取值在 $\mathcal{A}$ 的 $\mathbf{G}$-Mackey 函子指 ${\mathsf{Fin}}_G$ 到 $\mathcal{A}$ 的半加性函子, 它们构成的范畴记作 ${\mathsf{Mack}}_G(\mathcal{A})$.

我们将在后面的小节证明谱值 $G$-Mackey 函子与真 $G$-谱等价, 即 ${\mathsf{Mack}}_G(\mathsf{Sp})={\mathsf{Sp}}_G$.

2运算与性质

与带作用谱的关系

关于群的函子性

3例子

4相关概念

•	等变生象
•	Tate 构造
•	Segal 猜想

术语翻译

真等变谱 • 英文 genuine equivariant spectrum

真 $G$-谱 • 英文 genuine $G$-spectrum

表示球 • 英文 representation sphere