可达范畴

可达范畴是一类范畴, 其本身可以是大范畴, 但被一小族对象沿滤余极限生成.

1定义

定义 1.1 (紧对象). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\kappa$ 是正则基数. 称对象 $c\in \mathcal{C}$ 为 $\mathbf{\kappa }$-紧对象, 指函子 $\mathrm{Hom}(c,-):\mathcal{C}\to \mathsf{Set}$ 与 $\kappa$-滤余极限交换, 换言之, 对每个有余极限的 $\kappa$-滤图表 $X:I\to \mathcal{C}$, 自然映射$$\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}\mathrm{Hom}(c,X_i)\to \mathrm{Hom}\left(c,\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{X}_i\right)$$是同构. $\mathcal{C}$ 中所有 $\kappa$-紧对象构成的满子范畴记为 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$.

定义 1.2. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 对正则基数 $\kappa$, 称 $\mathcal{C}$ 为 $\mathbf{\kappa }$-可达, 或称 $\mathbf{\kappa }$-紧生成, 指它满足以下条件:

1.	$\mathcal{C}$ 有 $\kappa$-滤余极限. 换言之, $\mathcal{C}$ 中每个 $\kappa$-滤图表都有余极限.
2.	${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 是小范畴.
3.	${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 沿 $\kappa$-滤余极限生成 $\mathcal{C}$. 换言之, $\mathcal{C}$ 中每个对象都是 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 中对象的 $\kappa$-滤余极限.

称 $\mathcal{C}$ 是可达范畴, 指存在正则基数 $\kappa$, 使得 $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可达范畴. 称 $\mathcal{C}$ 是紧生成范畴, 指它是 ${\aleph }_0$-紧生成范畴.

注 1.3. 设 $\lambda >\kappa$ 是正则基数. 一般而言, $\kappa$-可达范畴未必是 $\lambda$-可达范畴.

定义 1.4. 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 是范畴, $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子. 设 $\kappa$ 为正则基数, $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为 $\kappa$-可达. 此时称 $F$ 为 $\mathbf{\kappa }$-可达, 指 $F$ 保持 $\kappa$-滤余极限. 一般地, 称 $F$ 为可达函子, 指存在正则基数 $\lambda$, 使得 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 为 $\lambda$-可达范畴, $F$ 为 $\lambda$-可达函子. $\kappa$-可达范畴关于 $\kappa$-可达函子构成的范畴记作 ${\mathsf{Acc}}_{\kappa }$. 可达范畴关于可达函子构成的 (不局部小) 范畴记作 $\mathsf{Acc}$.

2例子

•	代数中自然出现的大范畴基本都是可达范畴, 函子也都是可达函子. 比如集合范畴、群范畴、环范畴、域范畴、固定一个环上的模范畴、平坦模范畴, 都是 ${\aleph }_0$-可达范畴. 固定一个环上关于固定一个理想的完备模范畴是 ${\aleph }_1$-可达范畴.

•	拓扑空间范畴不是可达范畴.

•	紧 Hausdorff 空间范畴的反范畴, 即交换 ${\mathrm{C}}^{\ast }$ 代数范畴, 是 ${\aleph }_1$-可达范畴. 整个 ${\mathrm{C}}^{\ast }$ 代数范畴也是 ${\aleph }_1$-可达范畴.

•	度量空间在保距映射下构成 ${\aleph }_1$-可达范畴, 其中完备者亦然.

3性质

设 $\kappa$ 是正则基数.

命题 3.1. 可达范畴都幂等完备. 反过来, 幂等完备的小范畴都可达.

定理 3.2. 范畴 $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可达范畴, 当且仅当 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 是小范畴, 而且 $\mathcal{C}={\mathsf{Ind}}_{\kappa }({\mathcal{C}}^{\kappa })$. 事实上, 我们有自然的伴随函子$${\mathsf{Ind}}_{\kappa }:\mathsf{Cat}\rightleftarrows {\mathsf{Acc}}_{\kappa }:(-{)}^{\kappa }$$其中 $\mathsf{Cat}$ 指小范畴构成的范畴. 这里 $(-{)}^{\kappa }$ 是满忠实函子, 把 ${\mathsf{Acc}}_{\kappa }$ 等价到幂等完备范畴构成的满子范畴 ${\mathsf{Cat}}^{\mathrm{idem}}\subset \mathsf{Cat}$.

推论 3.3. ${\mathsf{Acc}}_{\kappa }$ 是 ${\aleph }_0$-可表现范畴, $\mathcal{C}\in {\mathsf{Acc}}_{\kappa }$ 是紧对象当且仅当 ${\mathcal{C}}^{\kappa }\in \mathsf{Cat}$ 是有限范畴的幂等完备化.

定理 3.4. ${\mathsf{Acc}}_{\kappa }$ 有任意极限、余极限, 其中极限是作为范畴直接取的, 但余极限一般不是. 设 $I$ 是小范畴, $\mathcal{C}:I\to {\mathsf{Acc}}_{\kappa }$ 是图表. 如 $|I|<\mathrm{cf}(\kappa )$, 则 $\mathcal{C}$ 的余极限也是作为范畴直接取的.

推论 3.5. $\mathsf{Acc}$ 有任意极限、余极限, 且都是作为范畴直接取的.

定理 3.6. 设 $\mathcal{C}$ 是 (未必小的) 偏序集, 则 $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可达范畴当且仅当:

1.	$\mathcal{C}$ 是小范畴.
2.	对任意正则基数 $\lambda \ge \kappa$, 任意偏序集嵌入 $X:\lambda \hookrightarrow \mathcal{C}$ 的像集都有上确界.
3.	记 ${\mathcal{C}}^{\kappa }=\{c\in \mathcal{C}\mid \mathrm{cf}({\mathcal{C}}_{<c})<\kappa \}$. 则对任意 $x\in \mathcal{C}$ 都有 $x=\sup {\mathcal{C}}_{\le x}^{\kappa }$.

定理 3.7. 设范畴 $\mathcal{C}$ 有 $\kappa$-滤余极限, 并设 $\kappa$ 不可数. 则以下几条等价:

1.	$\mathcal{C}$ 为 $\kappa$-可达.
2.	函子 $\mathrm{colim}:{\mathsf{Ind}}_{\kappa }(\mathcal{C})\to \mathcal{C}$ 有左伴随.
3.	存在 $\lambda \ge \kappa$, 使 $\mathcal{C}$ 为 $\lambda$-可达, 且函子 $\mathrm{colim}:{\mathsf{Ind}}_{\kappa }({\mathcal{C}}^{\lambda })\to \mathcal{C}$ 有左伴随.

注 3.8. $\kappa ={\aleph }_0$ 时, 定理 3.7 不成立, 参见紧聚集范畴.

4可达 $(\infty ,1)$-范畴

术语翻译

可达范畴 • 英文 accessible category

可达函子 • 英文 accessible functor

紧生成范畴 • 英文 compactly generated category