拓扑谱

关于其它含义, 请参见 “谱”.

在代数拓扑中, 拓扑谱 (简称谱) 是由一列拓扑空间构成的对象, 是稳定同伦论的主要研究对象. 它可以从以下不同角度来描述:

•	经典稳定同伦论即是拓扑谱的理论. 在拓扑空间范畴中, 纬悬–环路伴随 $\Sigma ⊣\Omega$ 中的两个函子并不可逆. 假若在同伦意义下把它们变得可逆, 得到的范畴就是拓扑谱的范畴. 因此, 拓扑谱看起来像拓扑空间, 但具有一些额外的性质, 例如对拓扑谱 $X$, 有同伦群的同构 ${\pi }_n(X)\simeq {\pi }_n(\Omega \Sigma X)\simeq {\pi }_{n+1}(\Sigma X)$, 等等. 这也意味着 ${\pi }_n(X)$ 在 $n<0$ 时也有定义.

•	拓扑谱是广义上同调理论的表出对象, 这一结论称为 Brown 可表性定理. 确切地说, 对任何广义上同调理论 (例如奇异上同调、拓扑 $K$ 理论等), 记为 $H^{\bullet }(-)$, 存在拓扑谱 $E$ 使得对任意空间 $X$ 有 $H^n(X)\simeq [X,{\Omega }^{-n}E]$, 其中右边是拓扑谱映射的同伦类. 例如, 奇异上同调由 Eilenberg–Mac Lane 谱表出, $K$ 理论由 $K$ 理论谱表出. 对广义同调理论也有类似结论. 在此意义下, 我们可以说: “同调理论就是 (经典) 稳定同伦论.”

•	在现代稳定同伦论中, 拓扑谱构成一个稳定 $\infty$-范畴, 它是拓扑空间范畴的稳定化. 这一过程可以推广到一般的 $\infty$-范畴, 而得到稳定 $\infty$-范畴. 另一方面, 稳定 $\infty$-范畴是同调代数中三角范畴结构的来源. 事实上, 三角范畴的典型例子, 即链复形范畴和导出范畴, 可以通过 Dold–Kan 对应而与拓扑谱联系起来. 在此意义下, 我们可以说: “同调代数是稳定同伦论的特例.”

1定义

拓扑谱

定义 1.1 (拓扑谱). 拓扑谱 $X$ 由以下信息构成:

•	一列带点拓扑空间 $X_0,X_1,X_2,\dots$

•	对任何 $n\ge 0$, 有 (保持基点的) 映射 ${\sigma }_n:\Sigma X_n\to X_{n+1}$.

称 $X$ 为 $\mathbf{\Omega }$-谱, 若满足以下条件:

•	对任何 $n\ge 0$, 由 ${\sigma }_n$ 诱导的映射 $X_n\to \Omega X_{n+1}$ 是弱同伦等价.

有时, 也称上面定义的拓扑谱为预谱, 而称 $\Omega$-谱为谱. 我们不采用这种术语.

同伦群

2例子

3相关概念

•	环谱
•	代数 $K$ 理论

术语翻译

谱 • 英文 spectrum • 德文 Spektrum (n) • 法文 spectre (m) • 拉丁文 spectrum (n) • 古希腊文 φάσμα (n)