等变生象

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

等变生象是带群作用的拓扑空间的等变同伦信息的记录. 它是等变同伦论的基本研究对象, 正如生象是同伦论的基本研究对象.

1定义

传统上, 等变生象范畴是直接用等变空间定义的, 亦即对群 $G$, 考虑带 $G$ 作用的空间的范畴, 以带紧开拓扑的 $G$-等变映射为映射空间把它做成拓扑空间充实范畴, 在其上做同伦论. 这里我们不那么做, 而直接采用现代的 $(\infty ,1)$-范畴论定义, 它和传统定义的等价性参见 Elmendorf 定理.

对离散群

设 $G$ 是群. 考虑 $G$ 的轨道范畴 ${\mathsf{Orb}}_G$, 其对象为传递 $G$-集合, 映射为 $G$-等变映射. 换言之, ${\mathsf{Orb}}_G$ 是 $G$-集合的范畴 ${\mathsf{Set}}_G$ 的满子范畴, 由形如 $G/H$ 的对象张成.

定义 1.1 ($G$-生象). $\mathbf{G}$-生象指 ${\mathsf{Orb}}_G$ 的生象值预层. 所有的 $G$-生象自然构成 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 ${\mathsf{Ani}}_G$ 或 $G\text{-}\mathsf{Ani}$, 依定义此即 $\mathsf{Fun}({\mathsf{Orb}}_G^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$. 对 $G$-生象 $X$ 及子群 $H\subseteq G$, 称 $X(G/H)$ 为 $X$ 的 $\mathbf{H}$-不动点, 记作 $X^H$.

注 1.2. 设 $Y$ 是带 $G$ 作用的拓扑空间. 则对任一子群 $H$, 不动点集 $Y^H$ 自然带有子空间拓扑, 且由于 $Y^H={\mathrm{Map}}_G(G/H,Y)$, 它对 $G/H$ 有函子性, 给出 ${\mathsf{Orb}}_G$ 的拓扑空间值预层. 把拓扑空间忘成生象, 这就给出一个 $G$-生象. 由 Elmendorf 定理, 上述构造给出带 $G$ 作用的拓扑空间的同伦 $(\infty ,1)$-范畴到 $G$-生象范畴的等价. 这也解释了我们把 $X(G/H)$ 记作 $X^H$ 的原因.

有时我们不考虑整个 ${\mathsf{Orb}}_G$, 而是考虑其某个满子范畴, 换言之, 固定 $G$ 的子群族 $\mathcal{F}$, 设其在共轭下不变, 以 ${\mathsf{Orb}}_G^{\mathcal{F}}\subseteq {\mathsf{Orb}}_G$ 记稳定子群属于 $\mathcal{F}$ 者构成的满子范畴.

定义 1.3 ($(G,\mathcal{F})$-生象). $(\mathbf{G},\mathcal{F})$-生象指 ${\mathsf{Orb}}_G$ 的生象值预层, 它们构成的 $(\infty ,1)$-范畴记作 ${\mathsf{Ani}}_G^{\mathcal{F}}$. 对 $(G,\mathcal{F})$-生象 $X$ 以及 $H\in \mathsf{F}$, 仍称 $X(G/H)$ 为 $X$ 的 $\mathbf{H}$-不动点, 仍记作 $X^H$.

对拓扑群

如 $G$ 是不离散的拓扑群, 情况就复杂一些. 此时 ${\mathsf{Orb}}_G$ 是个拓扑空间充实范畴, 对象形如 $G/H$, 其中 $H$ 为 $G$ 的闭子群, 映射空间为$$\mathrm{Map}(G/H,G/K)=\{g\in G/K\mid HgK=gK\},$$带 $G/K$ 的子空间拓扑. 我们把 ${\mathsf{Orb}}_G$ 视为 $(\infty ,1)$-范畴, 以下和离散群完全一样:

定义 1.4 ($G$-生象). $\mathbf{G}$-生象指 ${\mathsf{Orb}}_G$ 的生象值预层. 所有的 $G$-生象自然构成 $(\infty ,1)$-范畴, 记作 ${\mathsf{Ani}}_G$ 或 $G\text{-}\mathsf{Ani}$, 依定义此即 $\mathsf{Fun}({\mathsf{Orb}}_G^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$. 对 $G$-生象 $X$ 及闭子群 $H\subseteq G$, 称 $X(G/H)$ 为 $X$ 的 $\mathbf{H}$-不动点, 记作 $X^H$.

此时也有 Elmendorf 定理, 陈述略去. 也可以固定在共轭下不变的闭子群族 $\mathcal{F}$ 然后考虑 ${\mathsf{Orb}}_G^{\mathcal{F}}$, 定义 ${\mathsf{Ani}}_G^{\mathcal{F}}$, 在此也略去.

对投射有限群

虽然投射有限群可以视为拓扑群, 但我们通常不把它视为拓扑群来定义等变生象. 设 $G$ 是投射有限群, 此时定义 ${\mathsf{Orb}}_G$ 为传递连续 $G$-集合的范畴, 换言之其对象形如 $G/H$, 其中 $H$ 是 $G$ 的开子群, 然后仍像定义 1.1 一样定义 $G$-生象范畴 ${\mathsf{Ani}}_G$. 或者也可以取 $\mathcal{F}$ 为 $G$ 的所有开子群之族, 然后视 $G$ 为抽象群采用定义 1.3. 投射有限群比拓扑群简单的地方在于 ${\mathsf{Orb}}_G$ 是 $1$-范畴.

2运算与性质

与带作用生象的关系

设 $G$ 为拓扑群. 把拓扑空间忘成生象, 视之为 ${\mathbb{E}}_1$-群, 可作分类空间 $BG\in \mathsf{Ani}$, 并考虑带 $G$ 作用的生象, 或称朴素 $\mathbf{G}$-生象, 其范畴依定义为 ${\mathsf{Ani}}^{BG}=\mathsf{Fun}(BG,\mathsf{Ani})$. ($BG$ 可以看成只有一个对象, 自同态为 $G$ 的范畴, 从而 $\mathsf{Fun}(BG,\mathcal{C})$ 中的对象就是 $\mathcal{C}$ 中对象带 $G$ 作用.) 朴素 $G$-生象比 $G$ 生象包含的信息少得多.

定义 2.1 (遗忘函子). 注意在 ${\mathsf{Orb}}_G$ 中, 对象 $G$ 的自同态为 $G$, 故其张成的满子范畴为 $BG$, 且由于 $BG$ 是 $\infty$-群胚, 它与自己的反范畴自然同构. 于是沿含入映射 $BG\to {\mathsf{Orb}}_G$ 限制就给出函子 ${\mathsf{Ani}}_G\to {\mathsf{Ani}}^{BG}$, 称为 $G$-生象到朴素 $G$-生象的遗忘函子, 其值也称为一个 $G$-生象的底生象或底空间, 记为 $X\mapsto X(\ast )$.

遗忘函子显然保持所有极限、余极限, 故由伴随函子定理它有两边的伴随, 其实就是沿 $BG\to {\mathsf{Orb}}_G$ 作两边的 Kan 扩张. 由于沿满忠实函子的 Kan 扩张仍然满忠实, 该遗忘函子的两个伴随都满忠实. 其右伴随的像称为 Borel 完备 $\mathbf{G}$-生象, 左伴随的像称为余 Borel 完备 $\mathbf{G}$-生象, 有时也省去 “完备” 二字. 常把两个伴随相应地记作 $\mathrm{Bor},\mathrm{coBor}$.

注 2.2. 对一般的范畴 $\mathcal{C}$, 也可考虑 ${\mathsf{Orb}}_G$ 的 $\mathcal{C}$ 值预层范畴, 姑且记作 ${\mathcal{C}}_G$, 则定义 2.1 的第一段也对它适用, 给出函子 ${\mathcal{C}}_G\to {\mathcal{C}}^{BG}$. 如 $\mathcal{C}$ 可表现, 则定义 2.1 的第二段也对它适用, 给出函子 $\mathrm{Bor},\mathrm{coBor}:{\mathcal{C}}^{BG}\to {\mathcal{C}}_G$.

现如有两个可表现范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 及可达函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 则可配合上一段给出函子 $F_G\circ \mathrm{Bor},F_G\circ \mathrm{coBor}:{\mathcal{C}}^{BG}\to {\mathcal{C}}_G\to {\mathcal{D}}_G$. 当 $F$ 不保持极限、余极限时, $F_G\circ \mathrm{Bor},F_G\circ \mathrm{coBor}$ 相应地不再是 Borel 完备、余 Borel 完备的对象. 有趣的 $G$-生象常以这种方式产生. 事实上, $\mathcal{C}=\mathsf{sSet}$, $\mathcal{D}=\mathsf{Ani}$, $F$ 为 “取伦型” 时, $F_G\circ \mathrm{Bor}$ 就对应于传统上把带 $G$ 作用单纯集视为等变生象的方法.

关于群的函子性

3例子

由注 1.2, 带 $G$ 作用的拓扑空间给出 $G$-生象. 下面部分例子以这种方式给出.

•

对 $G$ 的有限维实表示 $V$, 其一点紧化 $S^V$ 是带 $G$ 作用的拓扑空间, 给出 $G$-生象, 称为 $V$ 的表示球. 写成函子语言, 这个 $G$-生象把轨道 $A\in {\mathsf{Orb}}_G$ 打到实线性空间 ${\mathrm{Map}}_G(A,V)$ 的一点紧化, 视为生象.

•

常函子 $\varnothing$ 和 $\ast$ 显然都是 $G$-生象, 且分别是始对象与终对象. 一般地, 设 $\mathcal{F}$ 是 $G$ 的共轭不变、向下封闭的闭子群族, 则$$E\mathcal{F}(G/H)=\{\begin{array}{ll}\ast ,& H\in \mathcal{F};\\ \varnothing ,& H\notin \mathcal{F};\end{array}$$给出 $G$-生象, 因为 ${\mathsf{Orb}}_G$ 中稳定化子较大的轨道打不到稳定化子较小的轨道. 显然 $\mathcal{F}$ 为空族和全族时 $E\mathcal{F}$ 分别是 $\varnothing$ 和 $\ast$, 且这个 $E$ 构造是这样的 $\mathcal{F}$ 的偏序集范畴到 ${\mathsf{Ani}}_G$ 的满忠实函子. 另外, $\mathcal{F}$ 中仅有平凡群时, $E\mathcal{F}$ 可由被 $G$ 自由作用的可缩空间 $EG$ 给出. 不难发现函子 $E\mathcal{F}\times -$ 和 $\underline{\mathrm{Hom}}(E\mathcal{F},-)$ 都只依赖于 $G$-生象在 ${\mathsf{Orb}}_G^{\mathcal{F}}$ 上的取值, 且若视为从 ${\mathsf{Ani}}_G^{\mathcal{F}}$ 出发的函子, 则给出限制函子 ${\mathsf{Ani}}_G\to {\mathsf{Ani}}_G^{\mathcal{F}}$ 的左伴随和右伴随.

4相关概念

•	等变 CW 复形
•	等变谱
•	真等变谱

术语翻译

等变生象 • 英文 equivariant anima

$G$-生象 • 英文 $G$-anima

朴素 $G$-生象 • 英文 naïve $G$-anima