等价原理

关于广义相对论中的等价原理, 请参见 “等价原理 (相对论)”.

等价原理是数学中的一种普遍原则, 是说:

•	等价的数学对象应具有相同的性质.

这里, “等价”、“相同的性质” 等概念并不是严格定义的. 因此, 这一陈述并不是严格的命题, 而是指我们在建立数学理论时, 应使我们定义的数学对象和概念满足等价原理.

例如, 相等的数具有同样的性质, 同构的群具有同样的性质, 等等. 这些性质并不是完全显然的, 而是因为我们正确地定义了数的相等、群的同构等概念, 以使得等价原理貌似显然.

但是, 上述两例是有本质区别的. 数的相等是指它们是某个集合的同一元素, 也就是说:

•	($0$-等价原理) 在集合里, 相等的元素应具有同样的性质.

在以集合论为基础的数学中, 这一陈述实际上是个严格的命题, 因为将相等的元素放进任何命题都将得到相同的结果.

另一方面, 群的同构则是一种不同的概念. 同构的群并不一定是相等的集合. 从范畴论的观点看, 群同构实际上是在说, 两个群是某个范畴中同构的对象. 这里, “同构” 是之前元素 “相等” 的类比. 这样, 我们可以说:

•	($1$-等价原理) 在范畴里, 同构的对象应具有同样的性质.

与之前不同, 这里 “同样的性质” 不再是严格的陈述. 例如, 同构的群不一定是相同的集合, 因此, 对群 $G$ 而言, “$G$ 包含元素 $\sqrt{2}$” 这样的性质就不满足等价原理. 但在群论中, 我们从来不关心这样的性质, 正因为其不满足等价原理. 换言之, 只有满足等价原理的性质, 即被群同构保持的性质, 才能称为 “群的性质”.

以上所有讨论似乎都很浅显. 但引入范畴论之后, 事情变得复杂起来. 对范畴而言, 正确的等价关系是范畴等价. 因此, 我们理应只关心那些被范畴等价保持的性质:

•	范畴等价的范畴应具有同样的性质.

但在实际上, 我们确实会遇到一些不被范畴等价保持的性质, 例如范畴中对象的相等、范畴间函子的相等关系、小范畴的概念等. 这些概念确实不能算是 “范畴的性质”, 因为换个看起来一样的范畴, 这些性质就有可能改变. 为了遵循等价原理, 我们需要考虑范畴中对象的同构、函子的自然同构、本质小范畴等概念, 这些是被范畴等价保持的. 可见范畴论中的等价原理并不像以前那样显然.

因为所有范畴构成 $2$-范畴, 范畴的等价原理也是下述原理的特例:

•	($2$-等价原理) 在 $2$-范畴里, 同构的对象应具有同样的性质.

在高阶范畴论中, 我们有:

•	($\infty$-等价原理) 在 $\infty$-范畴里, 同构的对象应具有同样的性质. 特别地, 范畴等价的 $\infty$-范畴应具有相同的性质.

这一原理在 $\infty$-范畴的理论中是十分关键的. 这是因为 $\infty$-范畴的定义十分复杂, 且有若干不同的模型描述之, 因此, 要证明某一性质被范畴等价保持常常变得不那么容易. 但只有满足这一条件的性质才能称得上是 “$\infty$-范畴的性质”.