小范畴

小范畴是范畴论中的一个技术概念, 指没有太多对象的范畴. 在小范畴中, 所有对象构成一个集合, 而不是一个比所有集合都大的类.

考虑小范畴是为了在某些构造中, 避免一些集合论问题. 例如, 若要构造范畴的范畴, 则只能考虑小范畴, 因为所有 “大范畴” 实在是太多了, 甚至不构成一个类.

上述小范畴的概念有一个缺陷, 即不被范畴等价保持, 也就是违背了等价原理. 为弥补这一缺陷, 可以引入本质小范畴的概念, 即等价于小范畴的范畴. 例如, 有限集的范畴不是严格意义下的小范畴, 因为所有有限集并不构成集合. 但该范畴是本质小的, 因为它等价于所有形如 $\{1,\dots ,n\}$ 的集合构成的范畴, 其中 $n\in \mathbb{N}$.

1定义

定义 1.1 (小范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴.

•	称 $\mathcal{C}$ 为小范畴, 若类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 能与一个集合建立双射.

•	称 $\mathcal{C}$ 为本质小范畴, 若 $\mathcal{C}$ 范畴等价于一个小范畴.

•	设 $\kappa$ 为不可达基数. 称 $\mathcal{C}$ 为 $\mathbf{\kappa }$-小范畴, 若类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 能与一个势小于 $\kappa$ 的集合建立双射.

•	设 $\kappa$ 为不可达基数. 称 $\mathcal{C}$ 为本质 $\mathbf{\kappa }$-小范畴, 若 $\mathcal{C}$ 范畴等价于一个 $\kappa$-小范畴.

注 1.2. 等价地说, 小范畴是集合范畴的内部范畴.

2例子

•	多数 “所有某种对象的范畴”, 例如集合范畴、拓扑空间范畴、向量空间范畴等等, 都不是本质小的.

•	但对不可达基数 $\kappa$, 所有势小于 $\kappa$ 的集合构成的范畴、所有势小于 $\kappa$ 的拓扑空间构成的范畴, 等等, 都是本质 $\kappa$-小范畴.

•	域 $k$ 上所有代数簇构成的范畴 ${\mathsf{Var}}_k$ 是本质小的. 这是因为代数簇可以被有限个仿射代数簇覆盖, 而仿射代数簇能嵌入仿射空间.

3相关概念

术语翻译

小范畴 • 英文 small category • 法文 petite catégorie (f)

本质小范畴 • 英文 essentially small category • 法文 catégorie essentiellement petite (f)