4. 覆叠的分类

定义 4.1. 拓扑空间 $B$ 的万有覆叠是指覆叠映射 $p:E\to B$, 其中 $E$ 为单连通空间.

使用提升判别准则以及覆叠提升的唯一性不难发现, 万有覆叠若存在则在至多相差一个同胚的意义下是唯一确定的. 具体的验证交由读者.

定义 4.2. 称拓扑空间 $X$ 是半局部单连通的, 若对任意 $x_0\in X$, 存在邻域 $U_0$ 使得映射 $i_{\ast }:{\pi }_1(U_0,x_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$ 的像是平凡的.

接下来从点集拓扑中可以回顾到以下定理 ¹:

定理 4.3 (万有覆叠的存在性). 假设 $B$ 是道路连通并且局部道路连通的, 则 $B$ 的万有覆叠存在当且仅当 $B$ 是半局部单连通的.

定义 4.4. 定义 $B$ 的覆叠所构成的范畴 $\text{Cov}(B)$ 如下:

•	对象为覆叠映射 $p:E\to B$;
•	两个覆叠 $p_1:E_1\to B$ 与 $p_2:E_2\to B$ 之间的态射定义为使得下述图表交换的态射 $f:E_1\to E_2$ :

定义 4.5. 令 $B$ 为连通拓扑空间. 定义 ${\text{Cov}}_0(B)\subset \text{Cov}(B)$ 为连通空间作为的覆叠所张成的子范畴.

命题 4.6. 令 $B$ 为连通且局部道路连通空间. 则 ${\text{Cov}}_0(B)$ 中的任意态射均为覆叠态射.

证明. 留作习题.

$\square$

定义 4.7. 定义 $G$-集范畴 $G-\mathsf{Set}$ 如下:

•	对象为带有 $G$-作用的集合 $S$ 且
•	态射为 $G$-等变映射, 即对于任意 $g\in G$, 使得 $f\circ g=g\circ f$ 的 $f:S_1\to S_2$.

给定覆叠 $p:E\to B$ 以及 $b\in B$, 传输函子表明$$p^{-1}(b)\in {\pi }_1(B,b)-\mathsf{Set}$$

引理 4.8. 令 $B$ 为道路连通空间. 则 ${\pi }_1(B,b)$ 在 $p^{-1}(b)$ 上的作用是可迁的当且仅当 $E$ 是道路连通的.

证明. “当” 的部分已在命题 3.23 中证明. 现在我们来证明 “仅当” 的部分.
固定 $e_0\in p^{-1}(b)$ . 假定 ${\pi }_1(B,b)$ 在 $p^{-1}(b)$ 上的作用是可迁的. 可以推知对于 $p^{-1}(b)$ 中的任一点, 都可以通过一条道路连接到 $e_0$. 给定任意点 $e\in E$, 令 $\gamma$ 为 $B$ 中从 $p(e)$ 到 $b$ 的道路. 传输函子 $T_{[\gamma ]}$ 给出从 $e$ 到 $p^{-1}(b)$ 中某个点的道路. 进行复合便说明 $e$ 到 $e_0$ 的道路是存在的. 也就证明了 “仅当” 的部分.

图 1. 可迁性 v.s. 道路连通性

$\square$

推论 4.9. 令 $B$ 为道路连通空间, $p:E\to B$ 为覆叠映射. 则存在一一对应$$\{E\text{ 的道路连通分支}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{p^{-1}(b)\text{ 在 }{\pi }_1(B,b)\text{ 作用下的轨道}\}.$$

证明. 留作习题.

$\square$

例 4.10. 令 $p:\tilde{B}\to B$ 为万有覆盖. 根据命题 3.23, 其纤维 $p^{-1}(b)$ 即为 ${\pi }_1(B,b)$.

命题 4.11. 假设 $B$ 为道路连通且局部道路连通拓扑空间. 令 $p_1$, $p_2\in \text{Cov}(B)$. 则对于所有 $b\in B$, $${\mathrm{Hom}}_{\text{Cov}(B)}(p_1,p_2)\cong {\mathrm{Hom}}_{{\pi }_1(B,b)-\mathsf{Set}}(p_1^{-1}(b),p_2^{-1}(b))$$

证明. 令 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\text{Cov}(B)}(p_1,p_2)$, 即通过将 $f$ 限制在 $p_1^{-1}(b)$ 上得到$$f_b:p_1^{-1}(b)\to p_2^{-1}(b).$$利用与命题 3.30 相类似的论证, 我们可以发现 $f_b$ 是 ${\pi }_1(B,b)$-等变的. 因此得到映射$$\begin{array}{rl}\Phi :{\mathrm{Hom}}_{\text{Cov}(B)}(p_1,p_2)& \to {\mathrm{Hom}}_{{\pi }_1(B,b)-\mathsf{Set}}(p_1^{-1}(b),p_2^{-1}(b))\\ f& \mapsto f_b\end{array}$$由提升的唯一性可知 $\Phi$ 为单射.
接下来证明满射, 假设 $E_1$ 是道路连通的, 且 ${\pi }_1(B,b)$ 在 $p_1^{-1}(b)$ 上的作用是可迁的 (见前文的推论). 给定 $f_b:p_1^{-1}(b)\to p_2^{-1}(b)$, 分别固定 $e_i\in p_i^{-1}(b)$ 使得 $f(e_1)=e_2$. 由 $f_b$ 是 ${\pi }_1(B,b)$-等变的可知有同态$$\begin{array}{lll}& {\mathrm{Stab}}_{e_1}({\pi }_1(B,b))⟶& {\mathrm{Stab}}_{e_2}({\pi }_1(B,b))\\ & ={\pi }_1(E_1,e_1)& ={\pi }_1(E_2,e_2).\end{array}$$根据提升准则 (定理 3.24), 我们得到了所需的 $f:E_1\to E_2$.

$\square$

定理 4.12. 假设 $B$ 是道路连通, 局部道路连通且半局部单连通的拓扑空间. $b\in B$ 为一点. 则存在范畴等价$$\text{Cov}(B)\simeq {\pi }_1(B,b)-\mathsf{Set}.$$

证明. 记 ${\pi }_1={\pi }_1(B,b)$. 令 $\tilde{p}:\tilde{B}\to B$ 为 $B$ 的一个固定的万有覆叠, 选定 $\tilde{b}={\tilde{p}}^{-1}(b)$.
我们将定义出以下函子令 $p:E\to B$ 为覆叠映射, 定义$$F(p):=p^{-1}(b).$$令 $S\in {\pi }_1-\mathsf{Set}$, 定义$$G(S):=\tilde{B}\underset{{\pi }_1}{\times }S=\tilde{B}\times S/\sim$$其中等价关系为对于任意 $e\in \tilde{B}$, $s\in S$, $g\in {\pi }_1$ 都有 $(e\cdot g,s)\sim (e,g\cdot s)$. 注意到 $e\cdot g$ 表示 $\tilde{B}$ 上的右 ${\pi }_1$-作用. 因此有自然同构$$F\circ G\stackrel{\eta }{\simeq }1,G\circ F\stackrel{\tau }{\simeq }1.$$此处 $\eta$ 为自然同构$${\eta }_S\in {\mathrm{Hom}}_{{\pi }_1-\mathsf{Set}}(F\circ G(S),S),{\eta }_S(e,s)=g\cdot s\text{若 }e=\tilde{b}\cdot g.$$$\tau$ 为自然同构$${\tau }_p\in {\mathrm{Hom}}_{\text{Cov}(B)}(p^{\prime },p)\cong {\mathrm{Hom}}_{{\pi }_1-\mathsf{Set}}(p^{-1}(b),p^{-1}(b)),p^{\prime }=G\circ F(p):\tilde{B}{\times }_{{\pi }_1}{p}^{-1}(b)\to B,$$它由 ${\mathrm{Hom}}_{{\pi }_1-\mathsf{Set}}(p^{-1}(b),p^{-1}(b))$ 中的恒等态射所确定.

$\square$

定义 4.13. 令 $B$ 为道路连通拓扑空间, 且 $p:E\to B$ 为连通覆叠. $p$ 的覆叠变换是使得 $f\circ p=p$ 的同胚 $f:E\to E$, 即下述图表交换令 $\mathrm{Aut}(p)$ 为 $p$ 的覆叠变换所构成的群.

根据提升的唯一性不难发现 $\mathrm{Aut}(p)$ 在 $E$ 上的作用是自由的 ².

命题 4.14. 令 $B$ 为道路连通空间且 $p:E\to B$ 为连通覆叠. 则 $\mathrm{Aut}(p)$ 在 $E$ 上的作用是纯不连续的.

证明. 留作习题.

$\square$

推论 4.15. 若 $B$ 是道路连通, 局部道路连通的拓扑空间. 令 $p:E\to B$ 为连通覆叠, $e\in E$, $b=p(e)\in B$, $G={\pi }_1(B,b)$, $H={\pi }_1(E,e)$. 则$$\mathrm{Aut}(p)\cong N_G(H)/H$$其中 $N_G(H)$ 为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子. $$N_G(H):=\{r\in G|rH{r}^{-1}=H\}$$

证明. 根据前一命题$$\mathrm{Aut}(p)\cong {\mathrm{Hom}}_{G-\mathsf{Set}}(G/H,G/H)=N_G(H)/H.$$

$\square$

定义 4.16. 定义 $G$ 的轨道范畴 $Orb(G)$ 如下:

•	对象由 (左) 陪集 $G/H$3组成, 其中 $H$ 为 $G$ 的子群.
•	态射为 $G$-等变映射: $G/H_1\to G/H_2$.

注意到在 $Orb(G)$ 中, $G/H_1$ 同构于 $G/H_2$ 当且仅当 $H_1$ 和 $H_2$ 在 $G$ 中是共轭的.
接下来将定理 4.12 限制在连通覆叠上, 可以发现

定理 4.17. 若 $B$ 为道路连通, 局部道路连通且半局部单连通空间. $b\in B$ 为一点. 则存在范畴等价$${\text{Cov}}_0(B)\simeq Orb({\pi }_1(B,b))$$

万有覆叠 $\tilde{B}\to B$ 对应于轨道 ${\pi }_1(B,b)$. 对于轨道 ${\pi }_1(B,b)/H$, 它对应于$$E=\tilde{B}/H\to B$$这可以表述为以下对应关系内蕴的看. 给定覆叠 $p:E\to B$, 可以得到传输函子$$T_p:{\Pi }_1(B)\to \mathsf{Set}.$$给定交换图可以找到自然变换$$\begin{array}{r}\tau :T_{p_1}⟹T_{p_2},\tau =\{f:p_1^{-1}(b)\to p_2^{-1}(b)|b\in B\}.\end{array}$$上述结构可以归结为函子$$T:\text{Cov}(B)\to \mathsf{Fun}({\Pi }_1(B),\mathsf{Set}).$$

定理 4.18. 若 $B$ 为道路连通, 局部道路连通且半局部单连通空间. 则$$T:\text{Cov}(B)\to \mathsf{Fun}({\Pi }_1(B),\mathsf{Set})$$为范畴等价.

译者注

1.	^ 见讲义: 拓扑学, 定理 12.4.3.
2.	^ 即对于任意 $e\in E$ 都有 ${\mathrm{Stab}}_{\mathrm{Aut}(p)}(e)=\{1\}$.
3.	^ 即 $\{gH|g\in G\}$.