拓扑 K 理论

拓扑 $\mathbf{K}$ 理论是 $K$ 理论的一种, 是对拓扑空间定义的一种广义上同调理论. 给定拓扑空间 $X$, 有 Abel 群 $K(X)$, 它由形如 $[E]$ 的元素生成, 其中 $E$ 是 $X$ 上的拓扑向量丛, 并且满足关系$$[E\oplus F]=[E]\oplus [F].$$例如, 单点空间 $\ast$ 的 $K$ 理论是 $K(\ast )\simeq \mathbb{Z}$, 这里 $\mathbb{Z}$ 记录向量丛的秩.

上面描述的是拓扑 $K$ 理论作为广义上同调理论的第 $0$ 阶上同调群, 也记为 $K^0(X)$. 更一般地, 对任何整数 $n$, 也有 $K$ 理论群 $K^n(X)$. 它们关于 $n$ 具有周期性, 称为 Bott 周期律. 当考虑的向量丛为复向量丛时, 该周期为 $2$; 为实向量丛时, 该周期为 $8$.

由 Brown 可表性定理, 任何广义上同调理论都被某个拓扑谱所表出. 将拓扑 $K$ 理论表出的拓扑谱称为 $K$ 理论谱.

1定义

对紧空间

定义 1.1 (拓扑 $K$ 理论). 设 $X$ 为紧空间. 记 $\mathsf{Vect}(X)$ 为 $X$ 上复拓扑向量丛的范畴. $X$ 的拓扑 $\mathbf{K}$ 理论为 Abel 群 $K(X)$, 定义为商群$$K(X)=(\underset{E\in \mathsf{Vect}(X)}{⨁}[E])/\sim ,$$其中直和是对 $\mathsf{Vect}(X)$ 中对象的同构类而取的, $\sim$ 表示所有形如$$[E\oplus F]-[E]-[F]$$的元素生成的子群.

若考虑实向量丛而非复向量丛, 可类似得到 Abel 群 $K_{\mathbb{R}}(X)$, 也称为 KO 理论或实拓扑 $\mathbf{K}$ 理论.

定义 1.2 (约化 $K$ 理论). 设 $(X,x_0)$ 为紧带点拓扑空间. 其约化拓扑 $\mathbf{K}$ 理论, 简称约化 $\mathbf{K}$ 理论, 定义为$$\tilde{K}(X)=\ker ({\mathrm{rank}}_{x_0}:K(X)\to \mathbb{Z}),$$其中, 映射 ${\mathrm{rank}}_{x_0}$ 将元素 $[E]$ 映到 $E$ 在点 $x_0$ 处的秩.

类似地, 也有约化实拓扑 $K$ 理论 ${\tilde{K}}_{\mathbb{R}}(X)$.

注 1.3. 若令 $1\in K(X)$ 为秩 $1$ 的平凡丛所在的等价类, 则有同构$$\tilde{K}(X)\simeq K(X)/(\mathbb{Z}\cdot 1),$$由含入映射 $\tilde{K}(X)\hookrightarrow K(X)$ 诱导. 这里, 右边是 $K(X)$ 商掉元素 $1$ 生成的子群, 而得的商群, 可以视为将向量丛 $E$ 等同于 $E\oplus T$, 其中 $T$ 是任何平凡向量丛, 而得到的商群. 这一同构说明, $\tilde{K}(X)$ 在同构意义下不依赖于基点 $x_0$ 的选取.

定义 1.4. 设 $(X,x_0)$ 为紧带点拓扑空间. 定义 ${\tilde{K}}^0(X)=\tilde{K}(X)$, 并对自然数 $n$, 定义$${\tilde{K}}^{-n}(X)=\tilde{K}({\Sigma }^{n}X),$$其中 $\Sigma$ 是纬悬函子. 由 Bott 周期律, 当 $n\le 0$ 时, ${\tilde{K}}^n(X)$ 关于 $n$ 具有周期性, 故可据此对任何整数 $n$ 定义 ${\tilde{K}}^n(X)$.

对拓扑空间 $X$ 及整数 $n$, 定义$$K^n(X)={\tilde{K}}^n(X_{+}),$$其中 $X_{+}=X\bigsqcup \ast$ 是向 $X$ 加入一个新点得到的空间, 基点是新加入的点.

类似地, 也可定义实 $K$ 理论 ${\tilde{K}}_{\mathbb{R}}^n(X)$ 及 $K_{\mathbb{R}}^n(X)$.

对一般空间

对一般拓扑空间 $X$, 上述 $K(X)$ 的定义不再是最自然的定义, 因为若如此定义, 则 $K(X)$ 不会是可表函子, 也不会是广义上同调理论.

对紧空间 $X$ 而言, 有同构$$\begin{array}{rl}K(X)& \simeq [X,\mathrm{BU}\times \mathbb{Z}],\\ \tilde{K}(X)& \simeq [X,\mathrm{BU}\times \mathbb{Z}{]}_{\ast },\end{array}$$其中 $[-,-]$ 为连续映射的同伦类的集合, $[-,-{]}_{\ast }$ 为保持基点的连续映射的同伦类的集合. 空间$$\mathrm{BU}=\underset{n}{\mathrm{colim}}\mathrm{BU}(n)$$是酉群 $\mathrm{U}(n)$ 的分类空间的余极限. 类似地, 对紧空间 $X$, 还有$$\begin{array}{rl}{K}_{\mathbb{R}}(X)& \simeq [X,\mathrm{BO}\times \mathbb{Z}],\\ {\tilde{K}}_{\mathbb{R}}(X)& \simeq [X,\mathrm{BO}\times \mathbb{Z}{]}_{\ast }.\end{array}$$

因此, 可以自然地将上述可表函子的定义推广到一般空间.

定义 1.5 (可表 $K$ 理论). 对拓扑空间 $X$, 定义 $X$ 的拓扑 $\mathbf{K}$ 理论、实拓扑 $\mathbf{K}$ 理论为$$K(X)=[X,\mathrm{BU}\times \mathbb{Z}],K_{\mathbb{R}}(X)=[X,\mathrm{BO}\times \mathbb{Z}].$$对带点拓扑空间 $X$, 定义 $X$ 的约化拓扑 $\mathbf{K}$ 理论、约化实拓扑 $\mathbf{K}$ 理论为$$\tilde{K}(X)=[X,\mathrm{BU}\times \mathbb{Z}{]}_{\ast },{\tilde{K}}_{\mathbb{R}}(X)=[X,\mathrm{BO}\times \mathbb{Z}{]}_{\ast }.$$

还有一种不同的定义方式, 即将 $K$ 理论定义为紧子空间上 $K$ 理论的反向极限.

定义 1.6 (反向极限 $K$ 理论). 假设拓扑空间 $X$ 能写成$$X=\bigcup _{n=1}^{\infty }{X}_n,$$其中 $X_1\subset X_2\subset \cdots \subset X$, 且每个 $X_n$ 是紧空间. 则定义 $X$ 的反向极限 $\mathbf{K}$ 理论为反向极限$$K^{\lim }(X)=\underset{n}{\lim }K(X_n).$$这一定义不依赖于子空间 $X_n$ 的选取.

可表 $K$ 理论与反向极限 $K$ 理论是不同的. 即使对二者都有定义的空间, 它们也相差一个导出极限, 见 [Atiyah–Segal 1969, 命题 4.1].

2例子

3性质

4参考文献

以下教科书都讨论了紧空间的拓扑 $K$ 理论:

•	A. Hatcher. Vector bundles and $K$-theory. (pdf)

•	Max Karoubi (1978). $K$-theory. An introduction. Grundlehren Math. Wiss. 226. Springer-Verlag.

以下教科书也定义了非紧空间的 $K$ 理论:

•	J. P. May (1999). A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press. (pdf)

以下文献讨论可表 $K$ 理论与反向极限 $K$ 理论.

•	M. F. Atiyah, G. B. Segal (1969). “Equivariant $K$-theory and completion”. J. Differ. Geom. 3, 1–18. (doi)

5相关概念

术语翻译

拓扑 $K$ 理论 • 英文 topological $K$-theory

约化 $K$ 理论 • 英文 reduced $K$-theory