Freudenthal 纬悬定理

在代数拓扑中, Freudenthal 纬悬定理是关于球面同伦群的结论, 它说明对任何 $n$, 有$${\pi }_{2n+2}(S^{n+2})\simeq {\pi }_{2n+3}(S^{n+3})\simeq {\pi }_{2n+4}(S^{n+4})\simeq \cdots .$$这给出了球面的第 $n$ 个稳定同伦群 ${\pi }_n(\mathbb{S})$, 其中 $\mathbb{S}$ 是球谱.

下图给出了一些球面的同伦群, 其中斜线连起来的点是由 Freudenthal 纬悬定理给出的同构. 灰色代表容易得出为 $0$ 的那部分同伦群, 而其余部分则杂乱无章, 难以计算.

1定理及证明

定理 1.1 (Freudenthal). 设 $X$ 为 $n$-连通的带点 CW 复形. 考虑纬悬–环路伴随的伴随单位 $X\to \Omega \Sigma X$. 则它诱导的同伦群的映射$${\pi }_k(X)⟶{\pi }_k(\Omega \Sigma X)\simeq {\pi }_{k+1}(\Sigma X)$$当 $k\le 2n$ 时为同构, 当 $k=2n+1$ 时为满射.

特别地, 取 $X=S^{n+1}$, 知 $k\le 2n$ 时, 纬悬映射诱导同构$${\pi }_k(S^{n+1})\simeq {\pi }_{k+1}(S^{n+2})\simeq {\pi }_{k+2}(S^{n+3})\simeq \cdots .$$

证明. 对同伦推出方块$$X\ast \ast \Sigma X┘$$使用 Blakers–Massey 定理即可.

$\square$

2参考文献

原始文献:

•	Hans Freudenthal (1937). “Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen”. Compos. Math. 5, 299–314. (zbMATH) (pdf)

3相关概念

术语翻译

Freudenthal 纬悬定理 • 英文 Freudenthal suspension theorem • 德文 Freudenthalscher Einhängungssatz (m) • 法文 théorème de suspension de Freudenthal (m)