单纯对象

范畴 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象是指单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 到 $\mathcal{C}$ 的反变函子. 可以视为 $\mathcal{C}$ 的内单纯集. 当

1定义

定义 1.1 (单纯对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象是指函子 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$. 范畴 $\mathcal{C}$ 中全体单纯对象所构成的范畴无非是取值于 $\mathcal{C}$ 的预层范畴 $\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathcal{C})$, 一般记为 $\mathsf{s}\mathcal{C}$.

变体 1.2. 范畴 $\mathcal{C}$ 中的余单纯对象是指函子 $X^{\bullet }:\mathbb{\Delta }\to \mathcal{C}$. 范畴 $\mathcal{C}$ 中全体余单纯对象所构成的范畴一般记为 $\mathsf{cs}\mathcal{C}$ 或 $\mathsf{c}\mathcal{C}$.

对于 $\mathbb{\Delta }$ 中的态射 $f:[m]\to [n]$ 与 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象 $X$(或余单纯对象), 一般将对应态射记为 $f^{\ast }:X_n\to X_m$ (或 $f_{\ast }:X^m\to X^n$), 在不引起歧义时去掉星号.

半单纯对象

若在单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 中删去全体退化态射, 即只保留保序单射, 所得到的范畴记为 ${\mathbb{\Delta }}_{单}$, 称为半单形范畴. 此时单纯对象变为

定义 1.3 (半单纯对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的半单纯对象是指函子 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$.

变体 1.4. 范畴 $\mathcal{C}$ 中的余半单纯对象是指函子 $X^{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{单}\to \mathcal{C}$.

增广单纯对象

若在单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 中加入空集 (记为 $[-1]$) 则得到增广单形范畴 ${\mathbb{\Delta }}_{+}$, 此时单纯对象变为

定义 1.5 (增广单纯对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的增广单纯对象是指函子 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$.

变体 1.6. 范畴 $\mathcal{C}$ 中的余增广单纯对象是指函子 $X^{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+}\to \mathcal{C}$.

单纯对象 $X$ 的增广版本相当于在单纯对象的信息中增加一段态射 $X_0\to X_{-1}$ 以及交换图表$$X_1{X}_0{X}_{-1}{d}_0{d}_1ϵ$$余单纯对象的增广化不过是对偶版本.

注 1.7. 一般而言, 对于单纯对象 $X_{\bullet }$, 记其对应的增广版本为 ${\overline{X}}_{\bullet }$, 不难发现有 ${\overline{X}}_{\bullet }{\mid }_{{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}}=X_{\bullet }$. 余单纯对象的增广版本同样记为 ${\overline{X}}^{\bullet }$.

类似可以定义增广半单纯对象以及余增广半单纯对象

定义 1.8 (增广单纯对象). 范畴 $\mathcal{C}$ 中的增广半单纯对象是指函子 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+,单}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$.

变体 1.9. 范畴 $\mathcal{C}$ 中的余增广半单纯对象是指函子 $X^{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}_{+,单}\to \mathcal{C}$.

2$(\infty ,1)$-范畴中的单纯对象

在 $(\infty ,1)$-范畴中, 将单形范畴 $\mathbb{\Delta }$ 典范的转化为对应的 $(\infty ,1)$-范畴 (即取脉) 后可以给出 $(\infty ,1)$-范畴中单纯对象以及余单纯对象的定义.

定义 2.1 ($(\infty ,1)$-范畴中的单纯对象). $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X_{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$.

变体 2.2. $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的余单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X^{\bullet }:\mathrm{N}(\mathbb{\Delta })\to \mathcal{C}$.

半单纯对象

同理定义半单纯对象

定义 2.3 ($(\infty ,1)$-范畴中的半单纯对象). $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的半单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X_{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$.

变体 2.4. $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的余半单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X^{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{单})\to \mathcal{C}$.

增广单纯对象

同理定义 (余) 增广 (半) 单纯对象.

定义 2.5 ($(\infty ,1)$-范畴中的增广单纯对象). $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的增广单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X_{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{+}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$.

变体 2.6. $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的余增广单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X^{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{+})\to \mathcal{C}$.

定义 2.7 ($(\infty ,1)$-范畴中的增广半单纯对象). $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的增广半单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X_{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{+,单}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$.

变体 2.8. $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的余增广半单纯对象是指 $(\infty ,1)$-范畴间的函子 $X^{\bullet }:\mathrm{N}({\mathbb{\Delta }}_{+,单})\to \mathcal{C}$.

3性质

命题 3.1. $N({\mathbb{\Delta }}_{单})\to N(\mathbb{\Delta })$ 是 共始函子.

证明. [Lurie 2018, 04RE]

$\square$

命题 3.2. 对于带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$. 令 $X_{\bullet }$ 为其半单纯对象, 则存在 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象 $X_{\bullet }^{+}$ 使得下图为左 Kan 扩张$$N({\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}})N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\mathcal{C}X{X}^{+}$$

证明. [Lurie 2018, 04S4]

$\square$

4参考资料

•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.

5相关概念

•	几何实现 (单纯对象)

术语翻译

单纯对象 • 英文 simplicial object

增广单纯对象 • 英文 augmented simplicial object

半单纯对象 • 英文 semisimplicial object