实现–脉伴随

实现-脉伴随是指几何实现 (单纯集) 在一般情况下的推广, 由于几何实现定义为左 Kan 扩张, 因此实际上对于任意余完备范畴 $\mathcal{D}$, 给定函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 都可以定义 $\mathcal{C}$ 中对象在其上的 “实现” 以及其对应的脉.

1定义

定义 1.1 ($F$-实现). 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{D}$ 为余完备范畴, 对于函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 其实现 $|-{|}_F$ 定义为左 Kan 扩张$$\mathcal{C}\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\mathcal{D},Fy|-{|}_F^1$$即 $|-{|}_F^1:={\mathrm{Lan}}_{y}F$, 若使用余端的语言表述即为, 对于预层 $X$, 其 $F$ 实现定义为$$|X{|}_F^1\simeq {\int }^C\mathsf{PSh}(\mathcal{C})(y(C),X)\otimes FC$$

事实上, 如上定义的 $F$-实现存在右伴随, 将右伴随称为 $F$-脉.

定义 1.2 ($F$-脉). 称函子 ${\mathrm{N}}_F^1:\mathcal{D}\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 为 $F$ 的实现, 是指对于 $D\in \mathcal{D}$, ${\mathrm{N}}_F^1(D)$ 定义为函子 $C\mapsto \mathcal{D}(F(C),D)$.

定理 1.3. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{D}$ 为余完备范畴, 对于函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 有伴随函子$$|-{|}_F^1⊣{\mathrm{N}}_F^1.$$

证明. [Loregian 2021, Proposition 3.2.2]

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2$(\infty ,1)$-范畴上的实现–脉伴随

此外, 还可以进行纵向的推广, 即将 $\mathcal{C}$ 变为 $(\infty ,1)$-范畴, 此时 $\mathcal{D}$ 就需要变为余完备的 $(\infty ,1)$-范畴. 只需将 $F$ 修改为 $(\infty ,1)$-范畴之间的函子即可给出实现-脉伴随的 $(\infty ,1)$-版本, 此时只需将定义 1.1 以及定义 1.2 改成 $(\infty ,1)$-范畴中的对应版本, 仍有定理:

定理 2.1. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $\mathcal{D}$ 为余完备 $(\infty ,1)$-范畴. 对于 $(\infty ,1)$-范畴之间的函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 有伴随函子$$|-{|}_F⊣{\mathrm{N}}_F$$

证明. [Lurie 2018, 04BF]

$\square$

3例子

取 $\mathcal{C}=\mathbb{\Delta }$, 则

•	若选定 $\mathcal{D}=\mathsf{Top}$, 取 $F:\mathbb{\Delta }\to \mathsf{Top}$ 为 $[n]\mapsto {\Delta }^n$ 时, 就恢复出几何实现 (单纯集) 对应的 $F$-脉称为奇异单纯集.
•	若选定 $\mathcal{D}=\mathsf{Cat}$, 取 $F:\mathbb{\Delta }\hookrightarrow \mathsf{Cat}$ 将 $[n]$ 视同全序集. 则 $|-{|}_F^1$ 将单纯集映为其同伦范畴且 ${\mathrm{N}}_F^1$ 为范畴的脉
•	若选定 $\mathcal{D}={\mathsf{Cat}}_{\mathsf{sSet}}$ 为单纯范畴所构成的范畴, 取 $F:\mathbb{\Delta }\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}_{\mathsf{sSet}}$ 将 $[n]$ 视同其道路范畴 ${\mathfrak{C}}^n$(有些文献中记为 $\mathrm{Path}[n]$), 则对应实现 $|-{|}_F^1$ 为广义几何实现 $\mathfrak{C}$, 而 ${\mathrm{N}}_F^1$ 为同伦脉 (或称单纯脉), 记为 $\mathfrak{N}$ (有些文献中记为 ${\mathrm{N}}^{\mathrm{hc}}$)
•	接下来将 $\mathsf{sSet}$ 改为 $\mathsf{sAb}$ 为单纯 Abel 群范畴 (由充实范畴 Yoneda 引理可知仍然可以讨论脉与实现). 若选定 $\mathcal{D}={\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$ 为连通链复形范畴. 选定函子 $F:\mathbb{\Delta }\to {\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})$, 将 $[n]$ 映为 ${\mathrm{N}}_{\ast }(\mathbb{Z}(\Delta )[n])$ 为正规化链复形. 则 $|-{|}_F$ 为正规化链复形, 且 ${\mathrm{N}}_F$ 为 Dold–Kan 对应 $\mathrm{DK}:{\mathrm{Ch}}_{\ge 0}(\mathsf{Ab})\to \mathsf{sAb}$.

接下来给出 $(\infty ,1)$-范畴中的例子:

•	取 $\mathcal{D}$ 为任意余完备 $(\infty ,1)$-范畴. $F:\mathrm{N}(\mathbb{\Delta })\to \mathcal{D}$ 为任意 $(\infty ,1)$-范畴间的函子则有 $(\infty ,1)$-版本的实现-脉伴随$$\mathsf{sAni}\mathcal{D}|-{|}_F{N}_F$$

•

特别地, 取 $\mathcal{D}={\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为 $(\infty ,1)$-范畴所构成的 $(\infty ,1)$-范畴. 且 $F$ 将 $[n]$ 映为全序集 (视为 $\mathsf{Cat}$ 中的对象, 通过 $\mathrm{N}(\mathsf{Cat})\subset {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 视为后者中的对象), 给出的实现 $|-{|}_F$ 称为结合范畴, 一般记为 $\mathrm{asscat}:\mathsf{sAni}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$, 而脉 $N_F$ 称为 Rezk 脉, 一般记为 $N^r$.

4参考资料

•	使用端与余端定义实现-脉伴随 Fosco Loregian (2021). “(Co)end Calculus”. (doi) (web)
•	$(\infty ,1)$-范畴中的实现-脉伴随 Jacob Lurie (2018). Kerodon.

5相关概念

•	几何实现 (单纯集)
•	脉

术语翻译

$F$-实现 • 英文 $F$-realization

$F$-脉 • 英文 $F$-nerve