Hilbert 问题

Hilbert 问题指德国数学家 David Hilbert 于 1900 年提出的 23 个问题. 它们在当时都是未解问题, 且很多对后世数学的发展影响深远. 但由于那个年代数学刚刚开始进行严格的公理化, 一些问题陈述得比较笼统.

1问题列表

序号	问题	状态
一	连续统假设: 不存在基数严格介于自然数和实数之间的集合.	已解决. 已证明其与 ZFC 集合论相容且独立. 相容性由 Kurt Gödel 于 1940 年证明, 独立性由 Paul Cohen 于 1963 年证明.
二	Peano 公理的相容性.	已解决. Kurt Gödel 于 1931 年证明其著名的不完备性定理, 说明 Peano 公理无法证明自身相容. 而 Gerhard Gentzen 于 1936 年使用初级递归算术理论, 假设直至 ${\epsilon }_0$ 的超限归纳法, 证明了 Peano 公理相容.
三	给定体积相等的两个多面体, 是否总能将一个切成有限个多面体, 然后通过平移、旋转组合成另一个?	已解决. Max Dehn 于 1900 年用其不变量证明不能.
四	找出所有使得直线都是测地线的度量.	过于笼统, 难以讨论.
五	连续群是否都是 Lie 群?	如理解成 “拓扑流形群是否都是 Lie 群”, 则回答是肯定的, 由 Andrew Gleason, Deane Montgomery, Leo Zippin 于 1953 年证明. 但如理解成 “流形自同胚群的局部紧子群都是 Lie 群”, 则其尚未解决.
六	物理学的公理化: • 统计物理的基石——概率论的公理化. • 从原子观点出发, 严格地推出连续体的运动规律.	Andrey Kolmogorov 于 1933 年将概率论公理化.
七	是否对于代数数 $a$ 以及无理代数数 $b$, $a^b$ 都是超越数?	已由 Alexander Gelfond 与 Theodor Schneider 于 1934 年独立解决. 参见 Schneider–Lang 定理.
八	理解素数分布: • Riemann 猜想及其推广. • Goldbach 猜想. • 孪生素数猜想.	Riemann 猜想几无进展, 后两猜想也只有一些弱形式. 如张益唐于 2013 年证明素数间隔的下极限有限, 不大于 $7\times 10^7$; 其后该数被缩小至 $246$.
九	找到一般数域中互反律的最广形式.	Emil Artin 于 1930 年完成的 Artin 互反律解决此问. 也可认为 Langlands 纲领才是最广形式.
十	找到算法来确定任意给定的整数不定方程有没有解.	Yuri Matiyasevich 于 1970 年证明不存在此种算法. 见 Matiyasevich–Robinson–Davis–Putnam 定理.
十一	理解一般数域上的二次型.	类域论部分地解决了这一问题.
十二	将 Kronecker–Weber 定理推广至一般数域.	Goro Shimura 与 Yutaka Taniyama 于 1961 年解决了 CM 域情形. 一般情形则是 Langlands 纲领的一部分, 尚未解决.
十三	七次方程是否有求根公式, 其中只含有二元连续函数及其复合?	Vladimir Arnold 于 1957 年证明存在. 但他认为 Hilbert 想要解析函数, 这样则尚未解决.
十四	代数群作用在多项式环上, 其不动元组成的子环是否有限生成?	Masayoshi Nagata 于 1959 年给出反例.
十五	严格化 Schubert 演算.	随着现代代数几何特别是计数几何的发展, 此问题已完全解决. 用现代的语言说, Schubert 演算就是在 Grassmann 簇或旗簇中算一些相交数.
十六	实代数对象的拓扑学: • 实代数曲线的连通分支数及其相对位置. • 平面实代数向量场的极限环个数及其位置.	早在 1876 年, Axel Harnack 就证明了 $n$ 次实代数曲线的连通分支数不超过 $\frac{n^2-3n+4}{2}$, 且这是最优上界. 但其相对位置, 如同胚于圆的分支有何互相包含之关系, 我们仍知之甚少. 关于代数向量场的极限环, Yulii Ilyashenko 与 Jean Écalle 于 1992 年证明了其只有有限个, 但是否有关于次数的一致上界尚为未知.
十七	将恒非负的实有理函数表为平方和.	由 Emil Artin 于 1927 年用其序域理论解决.
十八	空间堆积问题: • ${\mathbb{R}}^n$ 上具有有界基本域的离散等距群作用是否只有有限多种? • 是否存在 ${\mathbb{R}}^3$ 的有界子集, 如只允许其平移、旋转则无法密铺 ${\mathbb{R}}^3$, 但允许反射就可以? • ${\mathbb{R}}^3$ 的球最密堆积长什么样, 密度有多少?	第一问由 Ludwig Bieberbach 于 1911 年解决, 回答为肯定. 第二问由 Karl Reinhardt 于 1928 年解决, 亦为肯定; 提问题时 Hilbert 认为其答案在 ${\mathbb{R}}^2$ 为否定, 但 1933 年 Heinrich Heesch 作出了 ${\mathbb{R}}^2$ 中的例子. 第三问由 Callister Hales 于 1998 年解决.
十九	具有解析系数的正则变分问题, 其解是否总为解析?	由 Ennio de Giorgi 与 John Nash 于 1957 年以不同的方法独立解决, 回答为肯定.
二十	给定边值的变分问题是否总有解?	英文维基说解决了, 但语焉不详, 我不敢在这里这么写.
二十一	构造全纯线性微分方程, 具有给定的同道群.	其现代陈述为 Riemann–Hilbert 对应, Masaki Kashiwara 与 Zoghman Mebkhout 于 1984 年独立得到其最广形式.
二十二	复流形的一致化问题.	Paul Koebe 于 1907 年解决了一维情形, 即一致化定理. 高维情形这相当于问复流形分类, 至今仍公认十分困难.
二十三	变分法的进一步发展.	过于笼统, 难以讨论.

2影响

3相关条目

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千禧年问题

术语翻译

Hilbert 问题 • 英文 Hilbert’s problems • 德文 hilbertsche Probleme • 法文 problèmes de Hilbert