2-向量空间

$2$-向量空间是向量空间这一概念的范畴化. 大致地说, 范畴化的过程在对象之间引入态射; 特别地, 每个对象可能有非平凡的自同构. 因此, 我们将期待 $2$-向量空间是一个范畴, 其中的对象, 即 $2$-向量, 满足与向量类似的性质, 但会有非平凡的自同构.

这种范畴化的方法并不是唯一的, 因为这取决于如何诠释上文中 “与向量类似的性质”. 这导致文献中有若干种不同的概念, 都称为 $2$-向量空间. 其中应用最广的有 Kapranov–Voevodsky 和 Baez–Crans 两种. 很难说这两种定义孰优孰劣. 例如, 从前者出发, 可以发展一套丰富的 $2$-线性代数理论, 也可以定义 $2$-箭图等概念. 而后者与导出几何关系更密切, 也是 $n$-Lie 理论的基础.

1定义

Kapranov–Voevodsky 定义

下面的定义来自 [Kapranov–Voevodsky 1994].

固定域 $k$, 记 $\mathsf{Vect}$ 为 $k$-向量空间的范畴, 通过向量空间的张量积视为幺半范畴.

定义 1.1. Kapranov–Voevodsky $2$-向量空间是同构于 ${\mathsf{Vect}}^n$ 的 $\mathsf{Vect}$-模, 其中 $n$ 为自然数.

这样, 正如向量是一列数, $2$-向量则是一列向量空间.

Baez–Crans 定义

下面的定义来自 [Baez–Crans 2004].

定义 1.2. Baez–Crans $2$-向量空间由以下等价的信息给出:

•	$\mathsf{Vect}$ 中的内部范畴.

•	只有两项的链复形 $(E^{-1}\to E^0)$, 其中 $E^{-1}$、$E^0$ 为向量空间.

•	形如 $[E^0/E^{-1}]$ 的商叠, 其中 $E^{-1}$、$E^0$ 同上.

注意该定义与 $2$-群的相似性. 事实上, 正如我们所期待, Baez–Crans $2$-向量空间确实是交换 $2$-群.

这样, $2$-向量就是带有自同构的普通向量, 且该自同构群也是向量空间.

2参考文献

原始文献:

•	John Baez, Alissa Crans (2004). “Higher-dimensional algebra. VI. Lie $2$-algebras”. Theory Appl. Categ. 12 (15), 492–538. arXiv: math/0307263 [math.QA]. (zbMATH)

•	Mikhail Kapranov, Vladimir Voevodsky (1994). “$2$-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. Proc. Symp. Pure Math. 56 (2), 177–259. (zbMATH) (pdf)

3相关概念

术语翻译

$2$-向量空间 • 英文 $2$-vector space • 法文 $2$-espace vectoriel (m)