范畴化

范畴化 (或纵向范畴化, 与横向范畴化, 即胚化相对) 是范畴论中的一种构造. 对于某种概念, 范畴化的过程大致就是将它视为带有某种结构的范畴的 “离散版本” 或 “$0$ 阶结构” (例如 $0$-截断或 $K_0$ 群), 而这种范畴就视为此概念的范畴化.

范畴化的具体构造常通过算畴来实现, 对于某个代数结构, 可以构造一个算畴来记录它的各种运算, 并把这种代数结构视为集合范畴上的算畴代数. 此算畴在高阶范畴 (例如范畴的范畴) 中的代数即可视为此代数结构的范畴化. 例如, 幺半群的范畴化就是幺半范畴.

此外, 如果将代数结构视为某个范畴的 $K_0$ 群, 则来自于这个范畴的元素可以视为它的 “正” 部分. 一个最简单的例子是, 整数 $\mathbb{Z}$ 同构于向量空间范畴的 $K_0$ 群, 而此群中来自于向量空间的元素则是自然数 $\mathbb{N}$, 因为向量空间的维数一定非负. 这种构造可以用来证明一些正性结果, 例如 Kazhdan–Lusztig 猜想的证明就是通过 Hecke 代数的范畴化.

1例子

一般例子

•	幺半群 $\Rightarrow$ 幺半范畴, 幺半 $\infty$-范畴.
•	群 $\Rightarrow$ $2$-群, $\infty$-群.
•	环 $\Rightarrow$ ${\mathbb{A}}_{\infty }$-环
•	交换环 $\Rightarrow$ ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环
•	Lie 代数 $\Rightarrow$ $L_{\infty }$-代数
•	函数 $\Rightarrow$ 层 $\Rightarrow$ 叠, $\infty$-叠
•	意象 $\Rightarrow$ $2$-意象, $\infty$-意象

具体例子

•	整数 $\Rightarrow$ 向量空间范畴
•	Weyl 群的群代数 $\Rightarrow$ 范畴 $\mathcal{O}$ 的主区块, 旗簇上的等变 $\mathsf{D}$-模与错致层范畴, Soergel 双模范畴.
•	Fourier 变换 $\Rightarrow$ Fourier–Mukai 变换
•	Satake 同构 $\Rightarrow$ 几何 Satake 等价

2相关概念

•	范畴化
•	同伦层级

术语翻译

范畴化 • 英文 categorification

纵向范畴化 • 英文 vertical categorification