Artin 逼近定理

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Artin 逼近定理是个交换代数定理, 从方程组在完备化中的解出发, 获得它在某个平展邻域中的解. 其应用包括 Artin 可表性定理、平展上同调的紧合基变换等定理.

1定理

定理 1.1. 设 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 的形式纤维几何正则, 换言之完备化 $R\to \hat{R}$ 是正则同态. 设多项式 $f_1,\dots ,f_m\in R[x_1,\dots ,x_n]$ 在 $\hat{R}$ 里有零点 $(a_1,\dots ,a_n)\in {\hat{R}}^n$. 则对任意 $d\in \mathbb{N}$, 存在:

•	平展 $R$-代数 $S$ 使得 $R/\mathfrak{m}=S/\mathfrak{m}S$ (从而 $\hat{R}=\hat{S}$);
•	$f_1,\dots ,f_m$ 在 $S$ 的零点 $(b_1,\dots ,b_n)\in S^n$;

使得 $a_1-b_1,\dots ,a_n-b_n\in {\mathfrak{m}}^d\hat{R}$.

证明. 由 Popescu 逼近定理, $\hat{R}$ 是光滑 $R$-代数的滤余极限, 故存在光滑 $R$-代数 $A$ 以及映射 $A\to \hat{R}$, 使得 $a_1,\dots ,a_n$ 来自 $A$, 且在 $A$ 中为 $f_1,\dots ,f_m$ 的零点. $A$ 中相应元素仍记作 $a_1,\dots ,a_n$. 由于 $\hat{R}/{\mathfrak{m}}^d\hat{R}=R/{\mathfrak{m}}^d$, 映射 $A\to \hat{R}$ 给出映射 $A\to R/{\mathfrak{m}}^d$. 在引理 1.2 中取 $I={\mathfrak{m}}^d$ 得 $R$-代数 $S$, 再令 $b_1,\dots ,b_n\in S$ 为 $a_1,\dots ,a_n\in A$ 在 $S$ 中的像, 即得欲证.

$\square$

引理 1.2. 设 $R\to A$ 是光滑同态, $I$ 是 $R$ 的理想, $A\to R/I$ 是 $R$-代数同态. 则存在:

•	平展 $R$-代数 $S$ 使得 $S/IS=R/I$;
•	$R$-代数同态 $A\to S$ 提升 $A\to R/I$.

2注记

注 2.1. 设 $(R,\mathfrak{m})$ 是以下几类环之一的局部化:

1.	域;
2.	完备 Noether 局部环;
3.	分式域特征 $0$ 的 Dedekind 整环;
4.	以上几类环上有限型的环;

则 $(R,\mathfrak{m})$ 满足定理 1.1 的条件, 证明参见条目 G-环. 由此可见定理 1.1 的适用范围十分广泛.

注 2.2. 如 $(R,\mathfrak{m})$ 为 Hensel 环, 则满足 $R/\mathfrak{m}=S/\mathfrak{m}S$ 的平展 $R$-代数 $S$ 都有截面 $S\to R$, 所以定理 1.1 中的零点 $(b_1,\dots ,b_n)$ 在 $R$ 里就有. 换言之, 此时 $R$ 上多项式在 $\hat{R}$ 里的零点都被其在 $R$ 里的零点逼近.

术语翻译

Artin 逼近定理 • 英文 Artin’s approximation theorem