形式纤维

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

形式纤维是进阶交换代数中的重要概念, 由 Grothendieck 首先研究. 其重要性来自完备化的重要性: 交换代数或代数几何中经常考虑 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 的完备化 $\hat{R}$, 故我们常常希望当 $R$ 具有某性质时 $\hat{R}$ 也具有相应性质; 对正则、Gorenstein、Cohen–Macaulay 这样的性质这固然没有问题, 但对既约、正规这种低余维的性质这就可能失败 (例 2.1). 形式纤维正控制了各种性质在完备化下的行为.

1定义

定义 1.1. 设 $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环. 对 $R$ 的素理想 $\mathfrak{p}$, $R$ 在 $\mathfrak{p}$ 处的形式纤维指的是 $k(\mathfrak{p})$-代数 $\hat{R}{\otimes }_{R}k(\mathfrak{p})$, 其中 $k(\mathfrak{p})$ 表示剩余域, $\hat{R}$ 表示 $(R,\mathfrak{m})$ 的完备化.

定义 1.2. 设 $\mathrm{P}$ 是 Noether 环的性质, 如正则、Cohen–Macaulay、$({\mathrm{R}}_k)$、$({\mathrm{S}}_k)$ 等. 称 Noether 环平坦同态 $\mathbf{R}\to \mathbf{A}$ 的纤维几何 $\mathrm{P}$, 指对 $R$ 的任一素理想 $\mathfrak{p}$ 及剩余域 $k(\mathfrak{p})$ 的任一有限扩张 $\ell$, $A{\otimes }_R\ell$ 都满足性质 $\mathrm{P}$. 称 Noether 局部环 $\mathbf{R}$ 的形式纤维几何 $\mathrm{P}$, 指完备化映射 $R\to \hat{R}$ 的纤维几何 $\mathrm{P}$. 对 Noether 环 $A$ 及其素理想 $\mathfrak{q}$, 称 $\mathbf{A}$ 在 $\mathfrak{q}$ 处形式纤维几何 $\mathrm{P}$, 指局部化 $A_{\mathfrak{q}}$ 的形式纤维几何 $\mathrm{P}$. 为简短起见, 我们时常省略 “几何” 二字.

2例子

例 2.1. 本例给出一维 Noether 局部整环, 其完备化不既约.

取特征 $p$ 域 $k$ 使得 $[k^{1/p}:k]=\infty$, 例如 ${\mathbb{F}}_p$ 上无穷个变元的有理函数域. 考虑$$A=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\in k^{1/p}[[x]]|[k(a_n{)}_{n=0}^{\infty }:k]<\infty \right\},$$则 $A$ 为离散赋值环, 素元为 $x$. 记其分式域为 $K$. 取常数项为 $0$ 的 $f\in k^{1/p}[[x]]\setminus A$, 则 $f^p\in A$. 记 $A^{\prime }=A[f]$, $L=K(f)$, 则 $L/K$ 为 $p$ 次纯不可分扩张, $A^{\prime }$ 作为 $A$-模秩 $p$ 自由, 且是局部整环, 极大理想为 $(x,f)$. 所以$$\widehat{A^{\prime }}=A^{\prime }{\otimes }_A\hat{A}=k^{1/p}[[x]][T]/(T^p-f^p)=k^{1/p}[[x]][T]/(T-f{)}^p,$$不既约. 本例中 $A^{\prime }$ 在素理想 $0$ 处的形式纤维是$$L{\otimes }_K{k}^{1/p}((x))=k^{1/p}((x))[T]/(T-f{)}^p,$$不既约.

3相关概念

术语翻译

形式纤维 • 英文 formal fiber