正则同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, 正则同态是一类 Noether 环同态, 是光滑同态在未必有限型情形的推广.

1定义

定义 1.1. 称 Noether 环的同态 $R\to A$ 为正则同态, 指它是平坦同态, 且对 $R$ 的任一素理想 $\mathfrak{p}$ 及其剩余域 $k(\mathfrak{p})$ 的任一有限扩张 $\ell$, $A{\otimes }_R\ell$ 都是正则环. 此时也称 $A$ 为几何正则 $R$-代数.

注 1.2. 由于 $A{\otimes }_{R}k(\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ 是 Noether 环, 其有限扩张 $A{\otimes }_R\ell$ 也是 Noether 环.

注 1.3. 不说 “正则 $R$-代数” 是为了避免与正则环混淆.

2例子

例 2.1. 由光滑同态的等价刻画, 光滑同态正是有限型的正则同态.

例 2.2. 设 $R$ 是以下几类环之一:

1.	域;
2.	完备 Noether 局部环;
3.	分式域特征 $0$ 的 Dedekind 整环;
4.	以上几类环上有限型的环;

设 $I$ 是 $R$ 的理想, $\hat{R}$ 是 $R$ 关于 $I$ 的完备化. 则自然映射 $R\to \hat{R}$ 正则, 证明参见 G-环条目. 本例连同下面的定理 3.4 给出重要的 Artin 逼近定理.

3性质

命题 3.1 (基变换). 设 $R$、$S$、$A$ 是 Noether 环, $R\to A$ 是正则同态, $R\to S$ 是环同态. 则 $S\to A{\otimes }_{R}S$ 是正则同态.

命题 3.2 (复合). 设 $R$、$A$、$B$ 是 Noether 环, $R\to A$, $A\to B$ 是正则同态. 则其复合 $R\to B$ 也是正则同态.

命题 3.3 (平坦下降). 设 $R$、$A$、$B$ 是 Noether 环, $R\to A$, $A\to B$ 是环同态, 其中 $A\to B$ 忠实平坦, 复合同态 $R\to B$ 正则. 则 $R\to A$ 也正则.

证明. 这是因为正则环可以平坦下降.

$\square$

正则同态最不平凡的性质是以下 Popescu 逼近定理.

定理 3.4 (Popescu). Noether 环同态 $R\to A$ 正则当且仅当 $A$ 是光滑 $R$-代数的滤余极限.

4相关概念

术语翻译

正则同态 • 英文 regular homomorphism