Chevalley 可构造性定理

Chevalley 可构造性定理是代数几何中的基本结论, 说的是代数簇态射的像集都是可构造集.

1定理与证明

用概形的语言, Chevalley 定理可推广到 Noether 概形的有限型态射, 证明并不更难, 故我们直接陈述这一推广:

定理 1.1. 设 $f:X\to Y$ 是 Noether 概形的有限型态射, 则像集 $f(X)$ 可构造. 换言之, 存在 $Y$ 的闭子集 $Z_1,\dots ,Z_n$ 和开子集 $U_1,\dots ,U_n$, 使得$$f(X)=\bigcup _{i=1}^n(Z_i\cap U_i).$$

证明. 对 $Y$ 用 Noether 归纳法, 即假设定理对任一闭子概形 $Y^{\prime }⫋Y$ 及 $Y^{\prime }$ 上任一有限型概形都成立. 接下来:

1.	如 $Y$ 不既约, 则 $Y_{\mathrm{red}}⫋Y$, 由归纳假设定理对 $Y_{\mathrm{red}}$ 成立, 于是定理对 $Y$ 显然也成立. 故可设 $Y$ 既约.
2.	如 $Y=\varnothing$ 则定理显然成立. 设 $Y\ne \varnothing$, 取非空仿射开集 $U\subseteq Y$, 令 $Z=(Y\setminus U{)}_{\mathrm{red}}$. 由归纳假设, 定理对 $f^{-1}(Z)\to Z$ 成立. 由于 $U$ 和 $Z$ 的可构造集含入 $Y$ 仍然可构造, 可构造集的有限并也可构造, 只需再证定理对 $f^{-1}(U)\to U$ 成立. 故可把 $Y$ 换成 $U$, 设 $Y=\mathrm{Spec}R$ 非空仿射, 其中 $R$ 是既约环.
3.	取 $X$ 的有限仿射开覆盖. 由于有限并与取像集交换, 可构造集的有限并也可构造, 可设 $X=\mathrm{Spec}A$ 仿射. 于是 $f:X\to Y$ 相当于环同态 $R\to A$.
4.	由广泛自由, 存在非零 $r\in R$ 使得 $A_r$ 是自由 $R_r$-模. 由归纳假设, 定理对 $R/r\to A/rA$ 成立, 故和第 2 步一样, 可把 $R$ 换成 $R_r$, 设 $A$ 是自由 $R$-模.
5.	现如 $A=0$, 则 $f(\mathrm{Spec}A)=\mathrm{Spec}A=\varnothing$, 定理显然成立; 如 $A\ne 0$, 由 $A$ 是自由 $R$-模可知对任一 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R$, $A{\otimes }_{R}k(\mathfrak{p})\ne 0$, 故 $f(\mathrm{Spec}A)=\mathrm{Spec}R$, 定理也成立. $\square$

术语翻译

Chevalley 可构造性定理 • 英文 Chevalley’s theorem on constructibility