概形态射

在代数几何中, 概形态射是概形间的映射, 大致是指那些 “代数” 的映射, 也就是能写成多项式或分式形式的映射. 例如, 仿射代数簇也就是仿射空间中多项式的零点集, 它们之间的态射就是指这些零点集间的映射, 其每个分量都能写成多项式或分式的形式. 代数簇之间的概形态射也称为代数簇态射.

在相对观点下, 概形态射具有与概形同等的地位, 因而称为相对概形; 对这一观点的讨论见该文.

从另一种角度看, 概形态射 $f:X\to Y$ 也可以视为 $Y$ 的 $X$-点, 或者说 “以 $X$ 中元素为参数” 的一族点. 如果 $Y$ 是代数闭域 $k$ 上代数簇, $X=\mathrm{Spec}(k)$, 则 $Y$ 的 $X$-点一一对应于 $Y$ 上的闭点, 这也解释了这种观点下 “点” 的名称.

1定义

定义 1.1 (概形态射). 设 $X,Y$ 为概形. 则概形态射 $f:X\to Y$ 就是指局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 到 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 的态射.

具体地说, 概形态射 $f$ 是二元组 $(f,f^{♯})$, 其中

•	$f:X\to Y$ 是拓扑空间的连续映射.

•	$f^{♯}:{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ 是 $Y$ 上环层间的同态,

满足以下性质:

•	$f^{♯}$ 是局部同态: 对任意 $x\in X$, 它诱导的茎的态射 $f_x^{♯}:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ 是局部环之间的局部同态, 即前者的极大理想的像落在后者的极大理想中.

定义 1.2 (点). 概形 $X$ 的 $\mathbf{Y}$-点指的就是概形态射 $Y\to X$. 对相对概形也作如此定义.

这里, $f^{♯}$ 应该看成是将函数拉回的操作. 例如, 若 $X,Y$ 是域 $k$ 上的代数簇, 则 ${\mathcal{O}}_Y$ 就是 $Y\to k$ 的函数层, 而 $f^{♯}$ 指定了如何将这样的函数拉回到 $X$ 而得到 $X\to k$ 的函数. 而 $f^{♯}$ 是局部同态的条件则说明, 若函数 $Y\to k$ 在某点 $f(x)$ 取值为零, 即落在 ${\mathcal{O}}_{Y,f(x)}$ 的极大理想中, 则其拉回在 $x$ 也应该取值为零.

最典型的概形态射就是仿射概形之间的态射, 如下例所示. 事实上, 任何概形态射在局部上都能写成这种形式.

例 1.3. 设 $R,S$ 是交换环, $X=\mathrm{Spec}S$, $Y=\mathrm{Spec}R$ 为仿射概形. 设 $\phi :R\to S$ 为环同态. 定义概形态射 $f:X\to Y$ 如下.

•	对每个 $x\in X$, 对应 $S$ 的素理想 ${\mathfrak{p}}_x\subset S$, 定义 $f(x)$ 为 $R$ 的素理想 ${\phi }^{-1}({\mathfrak{p}}_x)$ 对应的点.

•	为说明 $f$ 连续, 只需说明形如 $D(r)=\{y\in Y\mid r\notin {\mathfrak{p}}_y\}$ 的开集的原像也具有这种形式. 事实上, 不难验证 $f^{-1}(D(r))\simeq D(\phi (r))$.

•	为定义 $f^{♯}:{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$, 只需在形如 $D(r)$ 的开集上给出定义. 而$${\mathcal{O}}_Y(D(r))\simeq R_r,(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)(D(r))\simeq {\mathcal{O}}_X(D(\phi (r)))\simeq S_{\phi (r)},$$故可定义 $f^{♯}(D(r)):R_r\to S_{\phi (r)}$ 为 $\phi :R\to S$ 诱导的同态.

•	还需验证这样定义的 $f^{♯}$ 与限制映射相容, 且确实是局部同态. 我们暂时忽略这些细节, 并指出这些验证并不困难.

这样, 对每个环同态 $R\to S$, 我们得到概形态射 $\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$. 事实上, 这两者之间的所有概形态射都具有这种形式. 也就是说, $$\{\text{环同态 }R\to S\}\simeq \{\text{概形态射 }\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R\}.$$

由这一例, 我们也得到概形态射的等价刻画.

命题 1.4. 设 $f:X\to Y$ 是概形态射. 则对任意 $x\in X$, 存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}S$ 及 $f(x)\in V\simeq \mathrm{Spec}R$, 使得 $f(U)\subset V$. 此时, $f{|}_U$ 必由一个环同态 $R\to S$ 所诱导.

2相关概念

术语翻译

概形态射 • 英文 morphism of schemes • 法文 morphisme de schémas (m) • 拉丁文 morphismus schematum (m) • 古希腊文 μορφισμός σχημάτων (m)