Gelfand 变换

Gelfand 变换是 Banach 代数理论中的重要操作, 由 Israel Gelfand 引入, 把交换 Banach 代数 $A$ 里的元素变成 $A$ 的极大谱上的函数. 当 $A$ 是 C* 代数时, 它把 $A$ 同构到极大谱的连续函数代数, 给出交换 C* 代数的结构定理.

1定义

定义 1.1. 设 $A$ 是交换 Banach 代数. 以 $\sigma (A)$ 记其极大谱, 它是个紧 Hausdorff 空间. 由 Gelfand–Mazur 定理, 对任意 $\mathfrak{m}\in \sigma (A)$, 都有 $A/\mathfrak{m}\cong \mathbb{C}$. 定义元素 $a\in A$ 的 Gelfand 变换, 记作 $\hat{a}$, 指 $\sigma (A)$ 上的复值连续函数 $\mathfrak{m}\mapsto (a\mathrm{mod}\mathfrak{m})\in A/\mathfrak{m}\cong \mathbb{C}$. $A$ 的 Gelfand 变换指 $A$ 到 $\sigma (A)$ 上复值连续函数代数 $\mathbb{C}(\sigma (A))$ 的同态 $a\mapsto \hat{a}$.

2例子

•	设 $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $\mathbb{C}(X)$ 是其复值连续函数环, 以一致范数视为 Banach 代数. 则其极大谱是 $X$ 本身, Gelfand 变换是 $\mathrm{id}$.
•	考虑 Banach 空间 $L^1(\mathbb{R})$, 以卷积视为 Banach 代数. 则其 Gelfand 变换就是 Fourier 变换.
•	一般地, 对局部紧交换群 $G$, 考虑 $L^1(G)$ 以卷积视为 Banach 代数, 则其 Gelfand 变换是 Fourier 变换.

3性质

命题 3.1. $A$ 是交换 Banach 代数. 则其元素 $a$ 的 Gelfand 变换 $\hat{a}$ 的值域是 $a$ 的谱. 特别地, $\hat{a}$ 的一致范数是 $a$ 的谱半径.

证明. 只需证 $a$ 可逆当且仅当 $\hat{a}$ 的值域不包含 $0$. “仅当” 是因为 Gelfand 变换是代数同态. “当” 是因为如 $a$ 不可逆, 由 Zorn 引理存在包含 $a$ 的极大理想 $\mathfrak{m}\in \sigma (A)$, 这样依定义就有 $\hat{a}(\mathfrak{m})=0$.

$\square$

4相关概念

•	Banach 代数
•	C* 代数
•	正规算子的谱理论
•	Gelfand–Naimark 定理

术语翻译

Gelfand 变换 • 英文 Gelfand transformation • 德文 Gelfand-Transformation • 法文 transformation de Gelfand