C* 代数

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$C^{\ast }$-代数是一类重要的算子代数. 笼统地说, 它们可以看作是某个 Hilbert 空间 $H$ 上有界线性算子全体 $B(H)$ 的 $\ast$-子代数.

1定义

定义 1.1. 一个 $C^{\ast }-$ 代数是一个 Banach 代数 $A$ 与 $A$ 上的一个映射 $\ast :A\to A$, $a\mapsto a^{\ast }$ 构成的有序对. 其中映射 $\ast$ 满足如下性质: (以下 $a,b\in A,\lambda \in \mathbb{C}$)

•	$(a^{\ast }{)}^{\ast }=a$.
•	$(ab{)}^{\ast }=b^{\ast }{a}^{\ast }$.
•	$(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$.
•	$(\lambda a{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{a}^{\ast }$.
•	$\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$.

注 1.2. 注意, 不同于本百科对与代数的定义, 在算子代数的讨论中, 我们默认 $C^{\ast }$-代数不总是含幺的. 尽管我们总是可以对一个不含幺的 $C^{\ast }$-代数进行单位化或者考虑其上的乘子代数, 但它们与原代数有着本质性的不同.

注 1.3.

•	在 $C^{\ast }-$ 代数 $A$ 中, 对任意 $a\in A$, 均成立 $\Vert a\Vert =\Vert a^{\ast }\Vert$. 这是因为 $\Vert a\Vert \cdot \Vert a^{\ast }\Vert \ge \Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$. 故 $\Vert a^{\ast }\Vert \ge \Vert a\Vert$. 在上式中以 $a^{\ast }$ 替换 $a$ 又可以得到 $\Vert a\Vert \ge \Vert a^{\ast }\Vert$.
•	由 $(a^{\ast }{)}^{\ast }=a$ 可知 $\ast$ 为双射, 且其逆映射就是自己.

例 1.4. 对于紧 Hausdorff 空间 $X$, 考虑 $X$ 上全体连续复值函数 $C(X)$. $C(X)$ 关于逐点相加, 逐点相乘, 逐点数乘与范数 $\Vert f\Vert :=\max \{|f(x)|:x\in X\}$ 构成一个 Banach 代数. 定义 $f^{\ast }(x):=\overline{f(x)}$ 后, $C(X)$ 成为一个有幺元的 $C^{\ast }$-代数, 幺元是 $f(x)\equiv 1$ ($\forall x\in X$).

注 1.5.

1.	在例 1.4 中取 $X=\{1,2\}$ 与离散拓扑. 则 ${\chi }_{\{1\}}\cdot {\chi }_{\{2\}}=0$ (其中 ${\chi }_E$ 为 $E$ 的示性函数). 这说明 $C^{\ast }-$ 代数作为环不一定是无零因子的.
2.	仍取 $X=\{1,2\}$ 与离散拓扑. 则 $C(X)$ 的子集 $\{f\in C(X):f(2)=0\}$ 本身也成一个 $C^{\ast }-$ 代数, 且幺元是 ${\chi }_{\{1\}}$. 这说明一个含幺 $C^{\ast }-$ 代数 $A$ 的子 $C^{\ast }-$ 代数 $B$ 如果也是含幺的 $C^{\ast }-$ 代数, 那么 $A,B$ 的幺元不一定相等. $A$ 的子 $C^{\ast }-$ 代数 $B\ne A$ 含幺且 $A,B$ 幺元相等的例子有 $A=C(X)$ ($X$ 如上), $B=\{f\in C(X):f(1)=f(2)\}$.

定义 1.6. 称 $A$ 中元素 $a$ 是自伴的, 若 $a^{\ast }=a$;

称 $a$ 是正规的, 若 $a^{\ast }a=a{a}^{\ast }$;

称正规元 $a$ 是正的, 如果 $a$ 的谱 $\sigma (a)\subset [0,\infty ]$.

对于 $A$ 中自伴元 $a$ 和 $b$, 若 $b-a$ 是正的, 则记 $b\ge a$ 或 $a\le b$. 这给出了 $C^{\ast }$ 代数自伴元上的一个序结构.

2基本性质

定理 2.1 (Gelfand–Naimark 定理). 交换的含幺 $C^{\ast }$ 代数 $A$ 同构于 $A$ 极大理想空间上全体连续函数.

推论 2.2. 交换 $C^{\ast }$ 代数同构于某个局部紧 Hausdorff 空间 $X$ 上在无穷远处消失的全体连续函数 $C_0(X)$.

定理 2.3 (Gelfand–Naimark–Segal). 任何 $C^{\ast }$ 代数均同构于某个 Hilbert 空间 $H$ 上全体有界线性算子全体 $B(H)$ 的 $\ast$-子代数.

注 2.4. 特别的, 对于可分 $C^{\ast }$-代数可以要求 $H$ 是可分的; 当 $A$ 作为 $\mathbb{C}$ 线性空间仅有有限维时, $A$ 是矩阵代数的 (有限) 直和.

下面近似单位的存在性给出合理化了对于不含幺 $C^{\ast }$-代数的讨论.

定理 2.5 (近似单位). $C^{\ast }$-代数 $A$ 上存在如下近似单位, 即 $A$ 中网 $\{e_j{\}}_{j\in J}$ 满足如下条件:

(a). $e_j$ 是正的且 $\Vert e_j\Vert \le 1$, 对于任意 $j\in J$.

(b). 映射 $j\mapsto e_j$ 是保序的.

(c). ${\lim }_j{e}_{j}a-a={\lim }_{j}a{e}_j-a=0$, 对于任意 $a\in A$.

注 2.6. 类似地, 对于可分 $C^{\ast }$-代数, 我们可以取出一列近似单位.