谱 (泛函分析)

关于其它含义, 请参见 “谱”.

谱是线性代数中算子特征值在泛函分析中的推广.

1定义

定义 1.1 (有界算子). 设 $E$ 是 Banach 空间, $a:E\to E$ 是有界算子. $a$ 的谱, 记作 $\sigma (a)$, 指 $\mathbb{C}$ 的子集$$\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda -a不可逆\}.$$

该定义可推广到不同的情形.

定义 1.2 (Banach 代数). 设 $A$ 是 Banach 代数. 元素 $a\in A$ 的谱, 记作 $\sigma (a)$, 指 $\mathbb{C}$ 的子集$$\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda -a不可逆\}.$$

取 $A=\mathcal{L}(E)$ 为有界算子代数, 就得到定义 1.1.

定义 1.3 (无界算子). 设 $E$ 是 Banach 空间, $a:E\to E$ 是稠定闭算子. $a$ 的谱, 记作 $\sigma (a)$, 指 $\mathbb{C}$ 的子集$$\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda -a不可逆\}.$$注意, 说稠定闭算子 $T$ 可逆, 指的是存在有界算子 $S$, 使得 $TS=\mathrm{id}$, $ST={\mathrm{id}|}_{\mathcal{D}(T)}$.

2性质

定理 2.1. 非零 Banach 代数中元素的谱是非空紧集.

证明. 设 $A$ 是非零 Banach 代数, $a\in A$. 注意 $\sigma (a)$ 的补集是开集 $A^{\times }$ 在连续映射 $\mathbb{C}\to A$, $\lambda \mapsto \lambda -a$ 的原像, 为开集, 知 $\sigma (a)$ 为闭集. 对 $\lambda >\Vert a\Vert$, 用展开式 $(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+\cdots$ 容易发现 $\lambda -a$ 可逆, 故 $\sigma (a)\subseteq B_{\Vert a\Vert }(0)$, 为 $\mathbb{C}$ 中有界闭集, 故为紧集.

如 $\sigma (a)=\varnothing$, 考虑关于 $\lambda \in \mathbb{C}$, 取值在 $A$ 的函数 $(\lambda -a{)}^{-1}$. 容易发现它复可导, 导数为 $(\lambda -a{)}^{-2}$, 且在 $|\lambda |\to \infty$ 时趋于 $0$. 于是对 $A$ 上任意连续线性泛函 $f$, 有 $f((\lambda -a{)}^{-1})$ 关于 $\lambda$ 为复平面上全纯函数, 在 $|\lambda |\to \infty$ 时趋于 $0$. 由 Liouville 定理, 它为常数, 故为恒零. 现在 Hahn–Banach 定理说明 $(\lambda -a{)}^{-1}=0$, 与 $A$ 非零矛盾.

$\square$

推论 2.2 (Gelfand–Mazur). 如非零 Banach 代数 $A$ 中每个非零元都可逆, 则 $A=\mathbb{C}$.

证明. 对任意 $a\in A$, 由 $\sigma (a)$ 非空及条件知存在 $\lambda \in \mathbb{C}$ 满足 $\lambda -a=0$, 换言之 $a\in \mathbb{C}$.

$\square$

Banach 代数中元素的谱半径有如下计算方法, 详见主条目.

定理 2.3 (谱半径). 设 $A$ 是非零 Banach 代数, $a\in A$. 则$$\underset{\lambda \in \sigma (A)}{\sup }|\lambda |=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert a^n{\Vert }^{1/n}.$$特别地, 等号右边收敛.

很多时候, 算子的谱依算子的性质有其对应的性质, 且能反映算子的很多信息, 这就是谱理论. 它包括正规算子的谱理论、紧算子的谱理论等.

3相关概念

•	预解式
•	谱半径
•	极大谱
•	谱理论
•	Banach 代数
•	Gelfand 变换

术语翻译

谱 • 英文 spectrum • 德文 Spektrum (n) • 法文 spectre (m) • 拉丁文 spectrum (n) • 古希腊文 φάσμα (n)