Iwahori–Hecke 代数

在代数群理论中, Iwahori–Hecke 代数 (简称 Hecke 代数) 是 Coxeter 群的群代数的形变. 具体地说, 对 Coxeter 群 $(W,S)$, 其 Iwahori–Hecke 代数 $\mathcal{H}(W,S)$ 是环 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$ 上结合代数$$\underset{w\in W}{⨁}\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]T_w,$$这里 $T_w$ 表示一组基, 不过 $T_w$ 之积并不是简单的将其指标相乘, 而是在此基础上多出一些其它项, 例如对单反射 $s\in S$, 有$$T_s^2=(q-1)T_s+q{T}_1.$$如取 $q=1$, 则 Hecke 代数变为群代数 $\mathbb{Z}[W]$.

这里的 $\{T_w,w\in W\}$ 称为标准基. 在 Hecke 代数上可以定义对合, 也有一组在对合下均不变的基, 称为 Kazhdan–Lusztig 基.

Hecke 代数的影子在代数群相关的各种构造中出现, 如旗簇上的等变错致层、范畴 $\mathcal{O}$、Soergel 双模等. Soergel 双模的 Grothendieck 群是 Hecke 代数, 范畴 $\mathcal{O}$ 中 Verma 模的分解以及模表示论中余标准模的分解也与 Hecke 代数有关 (这即是 Kazhdan–Lusztig 猜想). 对合则会对应于相应范畴中的对偶 (如 Verdier 对偶, 对偶表示) 等.

1定义

取定 Coxeter 系 $(W,S)$.

基本定义

定义 1.1 (Hecke 代数). $(W,S)$ 的 Hecke 代数 $\mathcal{H}(W,S)$ 是 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$ 上结合代数$$\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]⟨T_s{⟩}_{s\in S}/\sim$$其中商去的关系为

•	对 $s\in S$, $T_s^2=(q-1)T_s+q$.
•	对 $s,t\in S$, 如 $m_{st}<\infty$, 则 $T_s{T}_t{T}_s\cdots =T_t{T}_s{T}_t\cdots$, 其中等号两边都是共 $m_{st}$ 个 $T_s$ 与 $T_t$ 的交替乘积, 左边从 $T_s$ 开始, 右边从 $T_t$ 开始. 如 $m_{st}=2$ 时即 $T_s{T}_t=T_t{T}_s$, $m_{st}=3$ 时即 $T_s{T}_t{T}_s=T_t{T}_s{T}_t$.

无歧义时, $\mathcal{H}(W,S)$ 简记作 ${\mathcal{H}}_W$ 或 $\mathcal{H}$, 但它实际上依赖于 $S$ 的选取, 不只依赖于 Coxeter 群 $W$ 本身.

注 1.2. 注意 $W$ 由 $S$ 沿以下关系生成:

反射	对 $s\in S$, $s^2=1$.
辫关系	对 $s,t\in S$, 如 $m_{st}<\infty$, 则 $sts\cdots =tst\cdots$, 两边各 $m_{st}$ 个.

所以 $q=1$ 时, 定义 1.1 退化为群环 $\mathbb{Z}[W]$.

对 $w\in W$, 回忆其既约表示指把 $w$ 写成 $S$ 中元素乘积的最短写法, 其长度 $\ell (w)$ 指其既约表示的长度.

定义 1.3 (标准基). 记号承定义 1.1. 对 $w\in W$ 及其既约表示 $w=s_1\cdots s_n$, 定义 $T_w=T_{s_1}\cdots T_{s_n}$. 由于不同的既约表示之间可由注 1.2 中的辫关系沟通, $T_w$ 与既约表示的选取无关.

回忆 Coxeter 群的如下性质:

•	对 $w\in W$, $s\in S$, 如 $\ell (ws)\le \ell (w)$, 则 $w$ 存在既约表示形如 $w=s_1\cdots s_{n-1}s$, 此时 $\ell (ws)=\ell (w)-1$.

由此可得$$T_w{T}_s=\{\begin{array}{ll}{T}_{ws},& \ell (ws)=\ell (w)+1;\\ (q-1)T_w+q{T}_{ws},& \ell (ws)=\ell (w)-1;\end{array}$$故不难发现 $(T_w{)}_{w\in W}$ 构成 $\mathcal{H}(W,S)$ 在 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$ 上的一组基, 称为标准基.

注 1.4. Iwahori–Hecke 代数的记号比较混乱. 很多文献只考虑 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}]$ 上以同样关系定义的 Hecke 代数, 即这里的 $\mathcal{H}{\otimes }_{\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]}\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}]$, 并把它记作 $\mathcal{H}$, 此时也记 $v=q^{1/2}$. 这个基变换在定义以下 Kazhdan–Lusztig 基时比较方便.

如令 ${\delta }_s=v^{-1}{T}_s$, 更一般地 ${\delta }_w=v^{-\ell (w)}{T}_w$, 则 ${\delta }_s^2=(v-v^{-1}){\delta }_s+1$. 显然 $({\delta }_w{)}_{w\in W}$ 也构成 Hecke 代数在 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 上的一组基, 这被一些文献称为标准基, 也有一些文献用 $T_w$ 表示这里的 ${\delta }_w$.

注 1.5. 当 $W$ 取为仿射 Weyl 群时, 这里的 Hecke 代数也称为仿射 Hecke 代数.

对合

定义 1.6 (对合). $\mathcal{H}(W,S)$ 的对合 $\stackrel{ˉ}{}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 定义为以下自同构:

•	$\bar{q}=q^{-1}$;
•	$\overline{T_s}=q^{-1}{T}_s+q^{-1}-1$;

考虑 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]=\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}]$ 上的 Hecke 代数时, 定义 $\bar{v}=v^{-1}$.

注意 $\overline{T_s}=T_s^{-1}$; 由此不难发现对任意 $w\in W$, $\overline{T_w}=T_{w^{-1}}^{-1}$.

定义 1.7 (Kazhdan–Lusztig 基). Kazhdan–Lusztig 基 $(H_w{)}_{w\in W}$ 是 $\mathcal{H}$ 作为 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$-模的另一组基, 由以下性质刻画:

•	$\overline{H_w}=q^{-\ell (w)}{H}_w$.
•	如把 $(H_w{)}_{w\in W}$ 用标准基展开$$H_w=\sum _{x\in W}{P}_{x,w}{T}_x,$$则系数 $P_{x,w}\in \mathbb{Z}[q^{\pm 1}]$ 满足 ∘ 如 $x\nleqq w$, 则 $P_{x,w}=0$. ∘ $P_{w,w}=1$. ∘ 如 $x<w$, 则 $P_{x,w}\in \mathbb{Z}[q]$ 且次数不大于 $\frac{1}{2}(\ell (w)-\ell (x)-1)$. 这里不等号指的是 Bruhat 偏序.

常称多项式 $(P_{x,w}{)}_{x,w\in W}$ 为 Kazhdan–Lusztig 多项式.

注 1.8. 基变换到 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}]=\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 之后令 $b_w=v^{-\ell (w)}{H}_w$, 则 $\overline{b_w}=b_w$. 很多文献把这里的 $b_w$ 记作 $H_w$ 或 ${\underline{H}}_w$, 称之为 Kazhdan–Lusztig 基.

注 1.9. 不难解出对 $s\in S$, $$H_s=T_s+1;$$类似地, 整个 Kazhdan–Lusztig 基的存在唯一性也可手动证明.

以下定理十分深刻, 需用 Soergel 双模将 Iwahori–Hecke 代数范畴化才能证明.

定理 1.10 (Kazhdan–Lusztig 正性). Kazhdan–Lusztig 多项式的系数非负.

除此之外, Kazhdan–Lusztig 多项式便没有其它限制.

注 1.11. 对任意 $P\in 1+q\mathbb{N}[q]$, 如令 $d=\mathrm{deg}(P)$, $n=1+d+P(1)$, 则存在 $S_n$ 中元素 $x<w$, 满足 $\ell (w)-\ell (x)=2d+P(1)-1$, 且 $P_{x,w}=P$. 这里 $W=S_n$ 带标准的 Coxeter 系结构, 即 $S=\{(12),\dots ,(n-1n)\}$.

2例子

(...)

3性质

(...)

4相关概念

•	双仿射 Hecke 代数

5参考文献

•	Ben Elias, Shotaro Makisumi, Ulrich Thiel, Geordie Williamson. Introduction to Soergel bimodules, vol. 5. Springer, Cham. (doi)

•	Patrick Polo. “Construction of arbitrary Kazhdan-Lusztig polynomials in symmetric groups”. 90–104(doi)

术语翻译

Iwahori–Hecke 代数 • 英文 Iwahori–Hecke algebra • 法文 algèbre d’Iwahori–Hecke