错致层

错致层, 又译反常层、偏屈层, 是代数簇上平展可构造层的修改, 使其在六函子和 Verdier 对偶下表现良好, 不论代数簇是否光滑. 具体地说, 它是可构造层导出范畴的错致 $t$-结构的心; 此 $t$-结构和通常 $t$-结构不同, 被 Verdier 对偶保持. 复解析空间上亦有同样理论, 此时错致 $t$-结构在 Riemann–Hilbert 对应下对应于 $D$-模的通常 $t$-结构.

此概念的特殊情形由 MacPherson 和 Goresky 于 1977 年以相交上同调的名称引入, 一般情形由 Beilinson, Bernstein, Deligne 于 1982 年在著作《Faisceaux pervers》中引入.

1定义

考虑以下两种情形:

•	$k$ 是代数闭域, $X$ 是 $k$ 上代数簇, $\ell$ 是素数, 在 $k$ 中可逆, $\Lambda$ 是特征 $\ell$ 的域或 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ 的代数扩张. 记 $\mathsf{D}(X)={\mathsf{D}}_{\text{c}}^b(X,\Lambda )$ 为 $X$ 的平展 (实际上是投射平展) $\Lambda$ 系数有界可构造复形的三角范畴或稳定 $\infty$-范畴.
•	$X$ 是复解析空间, $\Lambda$ 是域. 记 $\mathsf{D}(X)={\mathsf{D}}_{\text{c}}^b(X,\Lambda )$ 为 $X$ 的解析 $\Lambda$ 系数有界可构造复形的三角范畴或稳定 $\infty$-范畴.

它们都有六函子和 Verdier 对偶. 以 ${\mathrm{D}}_X$ 记 $X$ 上 Verdier 对偶, 无歧义时省略下标.

定义 1.1. 定义 $\mathsf{D}(X)$ 上错致 $\mathbf{t}$-结构为$$\begin{gathered} {}^{\text{p}}{\mathsf{D}}^{\le 0}(X)=\{A\in \mathsf{D}(X)\mid \forall i\in \mathbb{Z},\dim \mathrm{supp}{H}^i(A)\le -i\}, \\ {}^{\text{p}}{\mathsf{D}}^{\ge 0}(X)=\{A\in \mathsf{D}(X)\mid \forall i\in \mathbb{Z},\dim \mathrm{supp}{H}^i(\mathrm{D}A)\le -i\}. \end{gathered}$$其心记为 $\mathsf{Perv}(X)$, 是 Abel 范畴, 其中对象称为错致层.

从定义可立即看出它自对偶, 不过它是 $t$-结构这件事不显然, 我们在下面证明.

2例子

•	设 $X$ 光滑 $n$ 维, $A$ 是其上光滑层, 则 $A[n]$ 是 $X$ 上错致层.

3性质

定理 3.1 (良定义). 定义 1.1 确实给出 $\mathsf{D}(X)$ 上 $t$-结构.

以下六函子记号都表示导出的.

命题 3.2 (浸入). 设 $i:X\to Y$ 是浸入. 则在错致 $t$-结构下, $i_{!}$, $i^{\ast }$ 为右正合, $i_{\ast }$, $i^{!}$ 为左正合.

(中介延拓, 单层.)

定理 3.3 (Artin 消没). 设 $f:X\to Y$ 为仿射态射. 则在错致 $t$-结构下, $f_{!}$ 为左正合, $f_{\ast }$ 为右正合.

4推广

(推广到未必可构造的复形, 可用可表现范畴直接取 $t$-结构的方法构造.)

(推广到正则概形.)

(解析空间情形.)

(一般的错致度.)

5相关概念

•	$t$-结构
•	$D$-模
•	Riemann–Hilbert 对应
•	相对错致层
•	错致凝聚层

术语翻译

错致层 • 英文 perverse sheaf • 德文 perverse Garbe • 法文 faisceau pervers