Lipschitz 连续映射

Lipschitz 连续映射是度量空间之间的一类连续映射.

1定义

定义 1.1 (Lipschitz 连续映射). 设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 是度量空间, 如果映射 $f:X\to Y$ 满足存在常数 $L\ge 0$, 使得对任意 $x_1,x_2\in X$, 都有 $d_Y(f(x_1),f(x_2))\le L{d}_X(x_1,x_2)$, 则称 $f$ 是 Lipschitz 连续映射. 满足上述条件的 $L$ 的下确界被称为 $f$ 的 Lipschitz 常数, 记为 $\mathrm{Lip}(f;X)$. 在不引起混淆的情况下, $\mathrm{Lip}(f;X)$ 简记为 $\mathrm{Lip}(f)$.

如果 $X=Y=\mathbb{R}$, 则 Lipschitz 连续性是说 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|(\forall x,y\in \mathbb{R})$, 即 $f(x)$ 图像上任何两点连线的斜率绝对值不超过 $L$. 换言之, Lipschitz 连续函数是指增长率有界的一类函数.

2延拓

对于映射 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 如果 $f$ 是 Lipschitz 连续函数, 过 $f$ 的图像上一点 $(x_0,f(x_0))$ 以 $\pm L$ 为斜率作两条直线, 则 $f$ 的图像应当包含在这两条直线形成的左右两个角形区域 $|y-f(x_0)|\le L|x-x_0|$ 中; 反过来, 如果对图像上任何一点而言, $f$ 的图像都包含在这两个角形区域中, 则 $f$ 是 Lipschitz 连续函数. 这一直观描述给出了如下的延拓定理, 从度量空间的任何子集 (不需要是闭集) 到 $\mathbb{R}$ 的 Lipschitz 连续映射都可以在保持 Lipschitz 常数的意义下延拓到整个空间.

定理 2.1 (McShane 引理). 设 $(X,d)$ 是度量空间, $A\subseteq X$ 是 $X$ 的任意子集, $f:A\to \mathbb{R}$ 是 Lipschitz 连续映射, 则存在 Lipschitz 连续映射 $F:X\to \mathbb{R}$, 满足 $F{|}_A=f$ 且 $\mathrm{Lip}(F;X)=\mathrm{Lip}(f;A)$.

证明. 记 $L=\mathrm{Lip}(f;A)$, 定义 $F:X\to \mathbb{R}$ 为$$F(x)=\underset{y\in A}{\inf }(f(y)+Ld(x,y)).$$断言 $F$ 满足所需的性质.

第一步: 证明 $F{|}_A=f$. 设 $x\in A$, 根据定义有 $F(x)\le f(x)+Ld(x,x)=f(x)$. 反过来, 对任意 $y\in A$ 都有 $|f(y)-f(x)|\le Ld(x,y)$, 从而$$f(y)+Ld(x,y)\ge f(x),$$所以 $F(x)\ge f(x)$. 综合两方面得到 $F{|}_A=f$.

第二步: 证明 $\mathrm{Lip}(F;X)=L$. 因为 $F{|}_A=f$, 所以自动有 $\mathrm{Lip}(F;X)\ge L$. 反过来, 对任意 $x_1,x_2\in X$, 根据定义$$F(x_1)-F(x_2)=\underset{y_2\in A}{\sup }\underset{y_1\in A}{\inf }(f(y_1)-f(y_2)+Ld(x_1,y_1)-Ld(x_2,y_2)).$$将 $y_1$ 取成 $y_2$, 并利用三角不等式可得$$F(x_1)-F(x_2)\le \underset{y_2\in A}{\sup }(Ld(x_1,y_2)-Ld(x_2,y_2))\le Ld(x_1,x_2).$$交换 $x_1,x_2$, 就能得到 $|F(x_1)-F(x_2)|\le Ld(x_1,x_2)$, 所以 $\mathrm{Lip}(F;X)\le L$. 综合两方面得到 $\mathrm{Lip}(F;X)=L$.

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证明中用到了 $\mathbb{R}$ 的线性结构, 因此难以将 $\mathbb{R}$ 推广为一般的度量空间, 但是否可以推广到 ${\mathbb{R}}^n$ 呢? 一个直接的想法是对于每个分量使用上述延拓定理, 但局限性在于无法保持 $\mathrm{Lip}(F;X)=\mathrm{Lip}(f;A)$ 成立, 只能得到较弱的估计 $\mathrm{Lip}(F;X)\le \sqrt{n}\mathrm{Lip}(f;A)$. 事实上, 如果要求 $X={\mathbb{R}}^m$, 则确实可以进行保持 Lipschitz 常数的延拓. 这一定理的证明需要如下几何引理, 其中 $\overline{B}(x,r)$ 表示以 $x$ 为球心、$r$ 为半径的闭球.

引理 2.2. 设 $N\in \mathbb{N}$, 给定 $x_1,\dots ,x_N\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $r_1,\dots ,r_N>0$, 对于 $t\ge 0$, 定义$$C_t:=\bigcap _{i=1}^N\overline{B}(x_i,t{r}_i).$$则 $\{t\ge 0\mid C_t\ne \varnothing \}=[s,\infty )(s<\infty )$, 且 $C_s$ 恰好包含一个点. 进一步, 设 $C_s=\{x\}$, 则 $x$ 落在那些满足 $|x-x_i|=t{r}_i$ 的点 $x_i$ 形成的凸包中.

证明. 容易看出 $s$ 的存在性以及 $C_s\ne \varnothing$. 下面使用反证法, 如果 $C_s$ 包含两个不同的点 $x,y$ (此时 $s>0$) , 则 $z=(x+y)/2$ 满足 (注意不等号是严格的)$$|x_i-z|<\min \{|x_i-x|,|x_i-y|\}\le s{r}_i,\forall 1\le i\le N.$$根据连续性可知存在 $0<s^{\prime }<s$ 使得 $z\in C_{s^{\prime }}$, 与 $s$ 的最小性矛盾!

进一步, 反设 $C_s=\{x\}$ 且 $x$ 不落在那些使得 $|x-x_i|=s{r}_i$ 的点 $x_i$ 形成的凸包中 (此时亦有 $s>0$) . 不妨设这些点就是 $x_1,\dots ,x_k(k\le N)$, 显然 $k\ge 1$ (否则将 $s$ 略微减小依然有 $C_s\ne 0$) . 存在一条过 $x$ 的直线 $l$ 使得 $x_1,\dots ,x_k$ 均位于 $x$ 的同侧且不在 $l$ 上. 考虑 $x$ 沿垂直于 $l$ 的方向朝着 $x_1,\dots ,x_k$ 所在一侧移动少许所得的点 $y$, 则当 $|x-y|$ 充分小时, 对 $1\le i\le k$ 都有 $|x_i-y|<|x_i-x|=s{r}_i$, 并且根据连续性可知对 $k<i\le N$ 也有 $|x_i-y|<s{r}_i$. 所以 $y\in C_s$, 与 $C_s=\{x\}$ 矛盾!

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定理 2.3 (Kirszbraun 定理). 设 $A\subseteq {\mathbb{R}}^m$, $f:A\to {\mathbb{R}}^n$ 是 Lipschitz 映射, 则存在 Lipschitz 映射 $F:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$, 使得 $F{|}_A=f$ 且 $\mathrm{Lip}(F;{\mathbb{R}}^m)=\mathrm{Lip}(f;A)$.

证明. 利用 Zorn 引理的一套抽象废话 (参见 Hahn–Banach 定理的证明) , 只需证明对任意一点 $y\in {\mathbb{R}}^m\setminus A$, 可以将 $f$ 保持 Lipschitz 常数地延拓到 $A\cup \{y\}$ 上. 也就是说, 存在映射 $g:A\cup \{y\}\to {\mathbb{R}}^n$ 满足 $g{|}_A=f$ 且 $\mathrm{Lip}(g;A\cup \{y\})=\mathrm{Lip}(f;A)$.

通过乘上常数, 可以不妨设 $\mathrm{Lip}(f;A)=1$. 映射 $g$ 由 $z:=g(y)\in {\mathbb{R}}^n$ 唯一确定, 需要满足的条件等价于$$|z-f(x)|\le |y-x|,\forall x\in A.$$也就是说, 需要$$z\in \bigcap _{x\in A}\overline{B}(f(x),|y-x|).$$因为一族紧集的交为空集当且仅当其中有限个的交为空集, 所以只需证明对有限个点 $x_1,\dots ,x_N\in A$, 有$$\bigcap _{i=1}^N\overline{B}(f(x_i),|y-x_i|)\ne \varnothing .$$

记$$s=\inf \{t\ge 0\mid \overline{B}(f(x_i),t|y-x_i|)\}.$$只需证明 $s\le 1$. 根据引理 2.2, 设 ${\bigcap }_{i=1}^N\overline{B}(f(x_i),s|y-x_i|)=\{z\}$, 且使得 $|f(x_i)-z|=s|y-x_i|$ 的 $x_i$ 恰好是 $x_1,\dots ,x_k(1\le k\le N)$, 则存在 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in [0,1]$, 使得 ${\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i=1$ 且 $z={\sum }_{i=1}^k{\lambda }_{i}f(x_i)$. 于是$$\begin{array}{rl}0& =2{\left|\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(z-f(x_i))\right|}^2=2\sum _{i,j=1}^k{\lambda }_i{\lambda }_j(z-f(x_i))(z-f(x_j))\\ & =\sum _{i,j=1}^k{\lambda }_i{\lambda }_j(|z-f(x_i){|}^2+|z-f(x_j){|}^2-|f(x_i)-f(x_j){|}^2)\\ & \ge \sum _{i,j=1}^k{\lambda }_i{\lambda }_j(s^2|y-x_i{|}^2+s^2|y-x_j{|}^2-|x_i-x_j{|}^2)\\ & =\sum _{i,j=1}^k{\lambda }_i{\lambda }_j(2s^2(y-x_i)(y-x_j)+(s^2-1)|x_i-x_j{|}^2)\\ & =2s^2{\left|\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(y-x_i)\right|}^2+(s^2-1)\sum _{i,j=1}^k{\lambda }_i{\lambda }_j|x_i-x_j{|}^2.\end{array}$$如果 $s>1$, 则后一项必须为 $0$, 也就是说只能 $k=1$, 但这种情况会导致 $s=0$, 故必须有 $s\le 1$, 从而结论得证.

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3Rademacher 定理

对于 Lipschitz 函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 因为 $f$ 是绝对连续函数, 利用实分析中的微积分基本定理可知, $f$ 的导数几乎处处存在. 进一步, 如果考虑定义域是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的情况, 是否会有 Lipschitz 函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 一定几乎处处可微呢? 答案是肯定的, 这就是 Rademacher 定理, 下面给出一个直接的证明. 之后, 还将利用 Sobolev 空间的理论再次得到这一结果.

定理 3.1 (Rademacher 定理). 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 Lipschitz 函数, 则

•	对于每个方向 $v\in S^{n-1}$, 方向导数 ${\partial }_{v}f$ 几乎处处存在.
•	用 ${\partial }_i$ 表示关于第 $i$ 个坐标轴正方向的方向导数, 如果 $v=(v_1,\dots ,v_n)\in S^{n-1}$, 则几乎处处成立$${\partial }_{v}f(x)=v_1{\partial }_{1}f(x)+\cdots +v_n{\partial }_{n}f(x).$$
•	$f$ 几乎处处可微, 且几乎处处成立 $df(x)=({\partial }_{1}f(x),\dots ,{\partial }_{n}f(x))$.

证明. 利用旋转, 只需证明 ${\partial }_{n}f$ 几乎处处存在. 将 ${\mathbb{R}}^n$ 视为 ${\mathbb{R}}^{n-1}\times \mathbb{R}$. 对任意 $x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{n-1}$, 关于 $x_n$ 的函数 $x_n\mapsto f(x^{\prime },x_n)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Lipschitz 函数. 根据前文所述, 其在 $\mathbb{R}$ 上几乎处处可导. 这正是说对每个 $x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{n-1}$ 而言, 在 $\{x^{\prime }\}\times \mathbb{R}$ 上 ${\partial }_{n}f$ 几乎处处存在. 结合 Fubini 定理可知 ${\partial }_{n}f$ 几乎处处存在.

接下来, 设 $v=(v_1,\dots ,v_n)\in S^{n-1}$, 对任意 $\phi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 和任意 $h>0$, 有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{f(x+hv)-f(x)}{h}\phi (x)dx=-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\frac{\phi (x)-\phi (x-hv)}{h}dx.$$令 $h\to 0+$, 使用控制收敛定理可得$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{v}f(x)\phi (x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\partial }_v\phi (x)dx=-\sum _{i=1}^n{v}_i{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\partial }_i\phi (x)dx.$$注意到右边的积分都是可以使用分部积分公式的. 以 $i=n$ 为例, 利用 Fubini 定理和 $f(x)$ 关于每个分量的绝对连续性可得$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\partial }_i(x)dx& ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left({\int }_{\mathbb{R}}f(x^{\prime },x_n){\partial }_n\phi (x^{\prime },x_n)d{x}_n\right)d{x}^{\prime }\\ & =-{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\left({\int }_{\mathbb{R}}{\partial }_{n}f(x^{\prime },x_n)\phi (x^{\prime },x_n)d{x}_n\right)d{x}^{\prime }\\ & =-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{n}f(x)\phi (x)dx.\end{array}$$代入上式得到$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{v}f(x)\phi (x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left(\sum _{i=1}^n{v}_i{\partial }_{i}f(x)\right)\phi (x)dx.$$由 $\phi$ 的任意性可知, 几乎处处成立$${\partial }_{v}f(x)=v_1{\partial }_{1}f(x)+\cdots +v_n{\partial }_{n}f(x).$$

最后来证明 $f$ 几乎处处可微. 取 $S^{n-1}$ 的稠密子集 $v_1,v_2,\dots$, 对每个 $k\in {\mathbb{R}}^n$ 定义$$A_k=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid {\partial }_{v_k}f(x)=\sum _{i=1}^n(v_k{)}_i{\partial }_{i}f(x)\},$$则 $|{\mathbb{R}}^n\setminus A_i|=0$. 再定义 $A={\bigcap }_{k\in \mathbb{N}}{A}_k$, 则 $|{\mathbb{R}}^n\setminus A|=0$, 下面证明 $f$ 在 $A$ 上可微, 并且有$$df(x)=({\partial }_{1}f(x),\dots ,{\partial }_{n}f(x)),\forall x\in A.$$

对于 $x\in A$, $v\in S^{n-1}$ 以及 $h>0$, 定义$$Q_x(v,h)=\frac{f(x+hv)-f(x)}{h}-\sum _{i=1}^n{v}_i{\partial }_{i}f(x).$$则已经证明了$$\underset{h\to 0+}{\lim }{Q}_x(v_k,h)=0.$$对于任意 $\epsilon >0$, 取 $v_1,\dots ,v_N\in S$, 满足对任意 $v\in S^{n-1}$, 存在 $1\le k\le N$ 使得 $|v-v_k|<\epsilon$, 从而$$Q_x(v,h)-Q_x(v_k,h)=\frac{f(x+hv)-f(x+h{v}_k)}{h}-\sum _{i=1}^n(v_i-(v_k{)}_i){\partial }_{i}f(x).$$所以$$|Q_x(v,h)-Q_x(v_k,h)|\le \mathrm{Lip}(f)\epsilon +n\mathrm{Lip}(f)\epsilon =(n+1)\mathrm{Lip}(f)\epsilon .$$当 $h$ 充分小时, $|Q_x(v_k,h)|\le \epsilon (\forall 1\le k\le N)$, 于是对一切 $v\in S^{n-1}$ 都有$$|Q_x(v,h)|\le ((n+1)\mathrm{Lip}(f)+1)\epsilon .$$这就证明了当 $h\to 0+$ 时 $Q_x(v,h)$ 关于 $v$ 一致收敛到 $0$, 故结论得证.

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注 3.2. 因为 Lipschitz 函数可以延拓, 并且可微是局部性质, 所以只要局部 Lipschitz 连续就足够保证几乎处处可微.

仔细观察这个证明, 其实关键在于方向导数的 “平凡” 性质$${\partial }_{v}f(x)=\sum _{i=1}^n{v}_i{\partial }_{i}f(x).$$为了得到上式, 考察了形如$${\tau }_{v}f(h):=\frac{f(x+hv)-f(x)}{h}$$的式子, 这在分析学中被成为差商. 在 Sobolev 空间的理论中, 差商是十分有效的工具. 上面的证明中用到了差商的一个重要性质, 即对于 $\phi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 通过换元可以得到 (看起来像是离散版本的分部积分公式)$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\tau }_{h}f(x)\phi (x)dx=-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x){\tau }_{-h}\phi (x)dx.$$

下面将使用 Sobolev 空间的理论证明 Rademacher 定理. 为了与方向导数 ${\partial }_i$ 区分, 用 $D_i$ 表示关于第 $i$ 个分量的弱导数.

定理 3.3. $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 几乎处处等于一个 Lipschitz 连续函数当且仅当 $f\in W^{1,\infty }({\mathbb{R}}^n)$. 进一步, 此时 $D_{i}f(x)={\partial }_{i}f(x)$ 对几乎所有 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 成立.

证明. 仔细观察定理 3.1 的证明, 会发现已经验证了 Lipschitz 连续函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 具有弱导数, 且 $D_{i}f$ 几乎处处等于 ${\partial }_{i}f$. 这就证明了 “仅当”, 下面证明 “当”.

假设 $f\in W^{1,\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 取磨光化子 $\rho$ 对 $f$ 进行磨光, 即定义 $f_{\epsilon }={\rho }_{\epsilon }\ast f(\epsilon >0)$. 根据磨光化子的一般性质, 有 $\Vert D{f}_{\epsilon }{\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}\le \Vert Df{\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}$, 并且存在子列 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots \to 0+$, 使得 $f_{{\epsilon }_k}$ 几乎处处收敛到 $f$. 因为 $f_{\epsilon }\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 所以$$|f_{\epsilon }(x)-f_{\epsilon }(y)|\le \Vert D{f}_{\epsilon }{\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}|x-y|\le \Vert Df{\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}|x-y|.$$记 $A=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid {\lim }_{k\to \infty }{f}_{{\epsilon }_k}(x)=f(x)\}$, 则 $|{\mathbb{R}}^n\setminus A|=0$, 并且上式表明对任意 $x,y\in A$ 有 $|f(x)-f(x)|\le \Vert Df{\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}|x-y|$. 使用延拓定理可以将 $f{|}_A$ 延拓为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lipschitz 连续函数, 故 $f$ 几乎处处等于一个 Lipschitz 连续函数.

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当 $n<p\le \infty$ 时, 根据 Sobolev 嵌入定理, $W^{1,p}$ 可以嵌入 Hölder 空间. 在下面的论述中, 对于 $f\in W^{1,p}(n<p\le \infty )$, 总是不妨假设 $f$ 是连续函数. 将要证明这种情况下, $f$ 总是几乎处处可微的, 结合定理 3.3 就证明了 Rademacher 定理.

需要用到如下的 Morrey 不等式, 它是证明 Sobolev 嵌入定理的工具之一. 其证明可以参见任何一本介绍 Sobolev 空间的教材.

引理 3.4 (Morrey 不等式). 对于 $n<p<\infty$, 存在只与 $p,n$ 有关而与 $x,r$ 无关的常数 $C$, 使得对任意 $f\in W^{1,p}(B(x,2r))$ 和任意 $y\in B(x,r)$, 都有$$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{1-n/p}\Vert Df{\Vert }_{L^p(B(x,2r))}.$$

定理 3.5. 设 $f\in W_{loc}^{1,p}({\mathbb{R}}^n)$, 其中 $n<p\le \infty$, 则 $f$ 几乎处处可微, 且 $df(x)=Df(x)(a.e.x\in {\mathbb{R}}^n)$.

证明. 因为 $W_{loc}^{1,\infty }$ 总是包含在 $W_{loc}^{1,p}$ 中, 只需处理 $n<p<\infty$ 的情况. 根据 Morrey 不等式, 存在常数 $C$ 使得对任意 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ 都有$$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{1-n/p}\Vert Df{\Vert }_{L^p(B(x,2|x-y|))}.$$

接下来, 不是对 $f$ 而是对 $y\mapsto f(y)-Df(x)y$ 这个函数使用上式, 得到$$|f(x)-f(y)-Df(x)(y-x)|\le C|x-y{|}^{1-n/p}\Vert Df(\cdot )-Df(x){\Vert }_{L^p(B(x,2|x-y|)}.$$如果 $x$ 是 $Df$ 的 Lebesgue 点, 则当 $y\to x$ 时$$|f(x)-f(y)-Df(x)(y-x)|=C|x-y{|}^{1-n/p}o(|x-y{|}^{n/p})=o(|x-y|).$$因此 $f$ 在 $x$ 处可微且 $df(x)=Df(x)$. 最后, 因为几乎所有点都是 $Df$ 的 Lebesgue 点, 结论得证.

$\square$

注 3.6. 也许定理 3.5 以及 Sobolev 嵌入定理 $W^{1,p}\hookrightarrow C^{0,1-n/p}(n<p<\infty )$ 会让人猜想 Hölder 连续函数也几乎处处可微. 但事实恰好相反, 如果 $\alpha \in (0,1)$, 则存在 $C^{0,\alpha }$ 但无处可微的函数. 本质上来说, 这是因为 $C^{0,\alpha }$ 允许很 “陡” 的函数, 但 Lipschitz 函数的斜率是有界的.

4面积公式

任何学过微积分的人都应当知道如何求曲线的长度. 如果 $u:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n(n\ge 1)$ 是 $C^1$ 单射, 则参数曲线 $u([a,b])$ 的长度为$${\int }_a^b|u^{\prime }(t)|dt.$$特别的, 一类参数曲线由函数的图像给出. 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数, 则 $f$ 的图像 $\{(x,f(x))\mid x\in [a,b]\}$ 构成一条参数曲线 $x\mapsto (x,f(x))$, 其长度为$${\int }_a^b|(1,f^{\prime }(x))|dt={\int }_a^b\sqrt{1+|f^{\prime }(x){|}^2}dx.$$

更一般的, 对于高维的曲面, 如果 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开区域, $u:U\to {\mathbb{R}}^n(n\ge m)$ 是 $C^1$ 单射, 则 $m$ 维参数曲面 $u(U)$ 的面积为$${\int }_{U}Judx.$$其中 $Ju$ 可以称为 $u$ 的 Jacobi 行列式或者面积因子, 其定义如下.

定义 4.1 (面积因子). 对于 $u:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(n\ge m)$, 如果 $u$ 在 $x$ 处可微, 定义面积因子$$Ju(x)=\sqrt{\det (Du(x{)}^{T}Du(x))},Du(x)=(D_j{u}_i(x){)}_{1\le i\le n,1\le j\le m}.$$

特别的, 如果 $f:U\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数, 则 $f$ 的图像是 $m$ 维参数曲面, 其面积是$${\int }_{U}J((x_1,\dots ,x_m,f(x))dx={\int }_U\sqrt{1+|Df(x){|}^2}dx.$$

实分析引入了测度这一概念来描述面积, 因此一个自然的问题是上面定义的面积能否实现为某种测度. 答案是可以的, 对应的测度是 Hausdorff 测度 ${\mathcal{H}}^m$. 面积公式正是在描述这件事, 并且将 $C^1$ 映射推广为 Lipschitz 连续映射 (回忆 Rademacher 定理, ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Lipschitz 连续函数几乎处处可微) .

注 4.2. 参数曲线的长度还可以用全变差定义, 即对于连续单射 $u:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$, 定义 $\Gamma =u([a,b])$ 的长度为$$l:=\underset{a=x_0<x_1<\cdots <x_n\le b,n\in \mathbb{N}}{\sup }\sum _{i=1}^n|u(x_i)-u(x_{i-1})|.$$可以证明 $l={\mathcal{H}}^1(\Gamma )$, 大致的方法如下: 一方面, 因为投影不会增大 Hausdorff 测度, 所以 ${\mathcal{H}}^1(u[x_{i-1},x_i])\ge |u(x_i)-u(x_{i-1})|$, 这就得到 $H^1(\Gamma )\ge l$; 另一方面, 可以取弧长参数 $\tilde{u}:[0,l]\to {\mathbb{R}}^n$, 有 $\mathrm{Lip}(\tilde{u})\le 1$, 所以 $H^1(\Gamma )\le \mathrm{Lip}(\tilde{u})H^1([0,l])\le l$.

这个证明中用到了 Hausdorff 测度的一个简单性质, $${\mathcal{H}}^m(f(E))\le \mathrm{Lip}(f{)}^m{\mathcal{H}}^m(E).$$这一性质将在今后反复使用.

注意这一等价性只需要 $u$ 是连续单射. 如果 $u$ 是 $C^1$ 单射, 则显然有 $l={\int }_a^b|u^{\prime }|$. 而面积公式是说当 $u$ 仅仅是 Lipschitz 单射时这件事情也成立.

下面将陈述并证明完整形式的面积公式, 作为推论得到参数曲面面积与 Hausdorff 测度的等价性. 证明方法是利用 $f$ 在局部上近似于仿射变换 $x\mapsto f(x_0)+Df(x_0)(x-x_0)$ (其中 $x-x_0$ 视为列向量, $Df(x_0)(x-x_0)$ 是矩阵的乘积) , 面积公式对仿射变换成立; 将 $f$ 的定义域切成一些小块, 每一小块上用近似的仿射变换去逼近.

首先给出几个引理, 其中包含了面积公式的特例, 将在证明中被使用. 因为有延拓定理, 因此总是可以不妨设 $f$ 是定义在整个 ${\mathbb{R}}^m$ 上而非其子集上.

引理 4.3. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 是 Lipschitz 连续映射, $E$ 是 Lebesgue 可测集, 则 $f(E)$ 是 ${\mathcal{H}}^m$-可测集.

证明. Lebesgue 可测集 $E$ 能够写成可数个紧集以及一个 ${\mathcal{H}}^m$-零测集之并. 紧集在连续映射下的像还是紧集, 从而 ${\mathcal{H}}^m$-可测. ${\mathcal{H}}^m$-零测集在 Lipschitz 映射下的像还是 ${\mathcal{H}}^m$-零测集, 从而也 ${\mathcal{H}}^m$-可测.

$\square$

引理 4.4. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续映射, $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 Lebesgue 可测集, 且对任意 $x\in E$ 有 $Jf(x)=0$ (特别的, 要求 $Df(x)$ 存在) , 则关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^m$-可测函数, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^m(y)=0.$$

证明. 只需证明 ${\mathcal{H}}^m(E)<\infty$ 的情况, 一般的情况利用 ${\mathbb{R}}^m$ 是 $\sigma$-紧的以及单调收敛定理即可.

对任意 $N\in \mathbb{N}$, 对于每个点 $x\in E$, 存在 $r>0$, 使得对任意 $y\in B(x,r)$ 有$$|f(x)-f(y)|\le |x-y|/N.$$定义 $A_k(k\in \mathbb{N})$ 为$$A_k=\{x\in E\mid |f(x)-f(y)|\le |x-y|/N,\forall y\in B(x,1/k)\}.$$则 $A_k\subseteq A_{k+1}$ 且 $A_N,A_{N+1},\dots$ 构成 $E$ 的可数覆盖.

将 $A_N,A_{N+1},\dots$ 中每个 $A_k$ 分成可数个直径小于 $1/k$ (更小于 $1/N$) 的可测集, 并且让这些集合两两不交, 记为 $B_{1,N},B_{2,N},\dots$. 每个 $B_{i,N}$ 都包含在某个 $A_k(k\ge N)$ 中, 并且 $B_{i,N}$ 中任意两个点的距离小于 $1/k$, 所以对任意 $x,y\in B_{i,N}$ 有$$|f(x)-f(y)|\le |x-y|/N.$$也就是说 $\mathrm{Lip}(f;B_{i,N})\le 1/N$.

考虑 ${\mathcal{H}}^m$-可测函数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}$, 根据单调收敛定理有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\sum _{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}(y)d{\mathcal{H}}^m(y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal{H}}^m(f(B_{i,N}))\le \sum _{i=1}^{\infty }\mathrm{Lip}(f;B_{i,N}{)}^m{\mathcal{H}}^m(B_{i,N})\le {\mathcal{H}}^m(E)/N^m.$$

最后, 自然想要令 $N\to \infty$. 为了求左边的极限, 需要加上一个限制, 即要求每个 $B_{i,N+1}$ 都包含在某个 $B_{j,N}$ 中. 因为 $B_{i,N}$ 的半径小于 $1/N$, 容易证明 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}(y)$ 递增地逐点收敛到 ${\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ (见下方的注) , 利用单调收敛定理就完成了证明.

$\square$

注 4.5. 关键技巧之一在于将 ${\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 实现为 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}(y)$ 的递增逐点极限, 其中 $B_{1,N},B_{2,N},\dots$ 是 $E$ 的可测划分, 每个 $B_{i,N+1}$ 都包含在某个 $B_{j,N}$ 中, 且 $B_{i,N}$ 的直径关于 $N$ 一致趋于 $0$. 这件事的证明如下: 因为 $B_{i,N}$ 是划分, 所以 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}\le {\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$; 反过来, 对任意 $t$ 个不同的点 $x_1,\dots ,x_t\in E\cap f^{-1}(y)$, 只要 $N$ 充分大, 它们就必须落在 $t$ 个不同的 $B_{i,N}$ 中, 由此得到 ${\lim }_{N\to \infty }{\sum }_{i=1}^{\infty }{\chi }_{f(B_{i,N})}(y)\ge t$, 由 $t$ 的任意性即证.

对于 Lipschitz 映射而言, $f(B_{i,N})$ 的可测性得以保持 (引理 4.3) , 从而得到 ${\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 的可测性. 注意这件事并不依赖于在 $E$ 上 $Jf=0$, 在面积公式中也会遇到这样的可测性结果.

如果 $f$ 不是 Lipschitz 映射, 并不能直接得到 $f(B_{i,N})$ 的可测性. 比如说, 容易构造可测函数 $\phi :[0,1]\to \mathbb{R}$, 使得一元函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^0({\phi }^{-1}(y))$ 不可测. 但是, 如果还要求 $\phi$ 是连续的, 则 ${\mathcal{H}}^0({\phi }^{-1}(y))$ 又是可测函数了. 这是因为可以将 $[0,1]$ 分成 $2^N$ 个长度为 $1/2^N$ 的闭区间 $I_{1,N},\dots ,I_{2^N,N}$, 利用紧集在连续函数下的像是紧集可以得到可测性. 虽然此时相邻两个小区间有一个公共点, 但这样的点只有可数个, 从而 ${\sum }_{i=1}^{2^N}{\chi }_{f(I_{i,N})}(y)$ 几乎处处收敛到 ${\mathcal{H}}^0(f^{-1}(y))$.

引理 4.6. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续映射, 对于 Lebesgue 可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$, 关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^m$-可测函数, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^m(y)\le \mathrm{Lip}(f{)}^m|E|.$$特别的, 如果 $|E|=0$, 则 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y)d{\mathcal{H}}^m(y)=0$.

证明. 仿照引理 4.4 的证明, 此时 $B_{i,N}$ 可以选取任何直径小于 $1/N$ 的子集, 总有 ${\mathcal{H}}^m(f(B_{i,N}))\le \mathrm{Lip}(f{)}^m{\mathcal{H}}^m(B_{i,N})$, 从而结论成立.

$\square$

定理 4.7 (面积公式). 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续映射, 则对于 Lebesgue 可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$, 关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^m$-可测函数, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^m(y)={\int }_{E}Jf(x)dx.$$

注 4.8. 左边的被积函数 ${\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))$ 等于 $y$ 被 $f{|}_E$ 映到的次数. 因为没有要求 $f$ 是单射 (单射的情况见推论 4.9) , 所以左边应该是 $f(E)$ 带有 “重数” 的面积.

证明. 先对 $E$ 进行一些简化, 根据 Rademacher 定理, $f$ 几乎处处可微, $E$ 中使得 $f$ 不可微的点构成 ${\mathcal{H}}^m$-零测集, 根据引理 4.6 可知其对于结论左右两边的贡献都是 $0$. 再考虑 $E$ 中使得 $Jf(x)=0$ 的点 $x$ 组成的集合, 则根据引理 4.4 可知这个子集对结论两边的贡献也都是 $0$. 因此, 可以不妨设 $f$ 在 $E$ 上处处可微且 $Jf>0$.

用 $\Vert \cdot \Vert$ 表示算子范数, 定义$$G=\{S\text{是}n\times m\text{矩阵}\mid JS>0\},JS:=\sqrt{\det (S^{T}S)}.$$则 $S\in G$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 中一个 $m$ 维超平面的嵌入, 并且成立$${\mathcal{H}}^m(S(E))=JS{\mathcal{H}}^m(E).$$(这件事需要证明, 但并不困难. 比如说利用极分解, $S$ 可以分解成 $n\times m$ 的正交矩阵乘上一个 $m\times m$ 的对角矩阵, 其中 $m\times n$ 的正交矩阵是指 $S^{T}S=I$. 上式对这两类矩阵都显然成立, 并且 $JS$ 也可以表示为这二者的面积因子的乘积. )

取 $G$ 的稠密子集 $S_1,S_2,\dots$. 对任意 $0<\epsilon <1$, 对于每个点 $x\in E$, 存在某个 $S_k$ 使得 $\Vert Df(x)-S_k\Vert <\epsilon$, 于是$$(1-\epsilon {)}^{m}J{S}_k<Jf(x)<(1+\epsilon {)}^{m}J{S}_k.$$(作者的线性代数不太好, 也可能不是 $(1\pm \epsilon {)}^m$, 但总之是一个 $1+O(\epsilon )$ 的东西. )

当 $|y-x|$ 充分小时,$$(1-\epsilon )|S_k(y-x)|<|f(y)-f(x)|<(1+\epsilon )|S_k(y-x)|.$$

然后是引理 4.4 的故技重施, 考虑 $E$ 的覆盖$$A_k=\{x\in E\mid \Vert Df(x)-S_k\Vert <\epsilon ,\text{且}\forall y\in B(x,1/k),\text{上式成立}\},k\in \mathbb{N}.$$将这些 $A_k$ 切成直径小于 $1/k$ 的小块, 即 $B_1,B_2\dots$ 构成 $E$ 的可测划分, 每个 $B_i$ 都包含在某个 $A_k$ 中且 $B_i$ 的直径小于 $1/k$.

根据构造, 对任意 $x,y\in B_i$, 都有$$(1-\epsilon )|S_k(y-x)|<|f(x)-f(y)|\le (1+\epsilon )|S_k(y-x)|.$$由此可知 $f{|}_{B_i}$ 是单射, 用 $S_k^{-1}(x),S_k^{-1}(x)$ 代替 $x,y$ (回忆 $S_k$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 中一个 $m$ 维超平面的嵌入) , 得到对任意 $x,y\in S_k(B_i)$, 有$$(1-\epsilon )|x-y|<|(f{S}_k^{-1})(y)-(f{S}_k^{-1})(x)|<(1+\epsilon )|x-y|.$$所以 $1-\epsilon \le \mathrm{Lip}(f{S}_k^{-1};S_k(B_i))\le 1+\epsilon$, 由此可得$${\mathcal{H}}^m(f(B_i))\le \mathrm{Lip}(f{S}_k^{-1}{)}^m{\mathcal{H}}^m(S_k(B_i))=(1+\epsilon {)}^{m}J{S}_k{\mathcal{H}}^m(B_i)\le (1+\epsilon {)}^m(1-\epsilon {)}^{-m}{\int }_{B_i}Jf(x)dx.$$类似的,$$(1+\epsilon {)}^{-m}{\int }_{B_i}Jf(x)dx\le J(S_k){\mathcal{H}}^m(B_i)={\mathcal{H}}^m(S_k(B_i))\le \mathrm{Lip}((f{S}_k^{-1}{)}^{-1}{)}^m{\mathcal{H}}^m(f(B_i))\le (1-\epsilon {)}^{-m}{\mathcal{H}}^m(f(B_i)).$$结合上面两个式子得到$$(1-\epsilon {)}^m(1+\epsilon {)}^{-m}{\int }_{B_i}Jf(x)dx\le {\mathcal{H}}^m(f(B_i))\le (1+\epsilon {)}^m(1-\epsilon {)}^{-n}{\int }_{B_i}Jf(x)dx.$$

将所有 $B_i$ 加起来, 注意 $f{|}_{B_i}$ 是单射, 利用单调收敛定理得到$$(1-\epsilon {)}^m(1+\epsilon {)}^{-m}{\int }_{E}Jf(x)dx\le {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^0(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^m(y)\le (1+\epsilon {)}^m(1-\epsilon {)}^{-m}{\int }_{E}Jf(x)dx.$$最后, 令 $\epsilon \to 0+$ 就完成了证明.

$\square$

推论 4.9. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续单射, 则对 Lebesgue 可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$, 有 $f(E)$ 是 ${\mathcal{H}}^m$-可测集, 且$${\mathcal{H}}^m(f(E))={\int }_{E}Jf(x)dx.$$也就是说, 通常定义的 $C^1$ 参数曲面面积确实等于 $m$ 维 Hausdorff 测度.

面积公式可以看成换元公式的推广. 如果 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续单射, 则$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{f(E)}(y)d{\mathcal{H}}^m(y)={\mathcal{H}}^m(f(E))={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\chi }_E(x)Jf(x)dx.$$这可以看成在左边做了通常的换元 $y=f(x)$, 右边的被积函数需要乘上 Jacobi 行列式 $Jf$. 更一般的, 利用单调收敛定理和简单函数的稠密性, 可以得到如下推论.

推论 4.10. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\le n)$ 是 Lipschitz 连续映射, $g$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的 Borel 可测函数. 如果 $g$ 非负或者 $g\in L^1$, 则$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left(\sum _{x\in f^{-1}(y)}g(x)\right)d{\mathcal{H}}^m(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{f^{-1}(y)}g(x)d{\mathcal{H}}^0(x)\right)d{\mathcal{H}}^m(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^m}g(x)Jf(x)dx.$$

5余面积公式

Fubini 定理是说, 在满足一些相当一般的条件下,$${\int }_{{\mathbb{R}}^{m+n}}f(x,y)d{\mathcal{H}}^{m+n}={\int }_{{\mathbb{R}}^m}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)d{\mathcal{H}}^n(y)\right)d{\mathcal{H}}^m(x).$$特别的, 可测集 $E$ 的体积等于先求切片 $E_x:=\{y\in {\mathbb{R}}^n\mid (x,y)\in E\}(x\in {\mathbb{R}}^m)$ 的 $n$ 维体积, 接着再对 $x$ 进行积分. 切片 $E_x$ 正是到前 $m$ 个分量的投影映射的水平集.

一般的, 考虑一个 $C^1$ 函数 $u:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, 水平集 $u^{-1}(t)$ 通常是一个 $n-1$ 维超曲面. 如果将 ${\mathcal{H}}^{n-1}(u^{-1}(t))$ 对 $t$ 积分, 得到的结果其实是余面积公式的特例$${\int }_{\mathbb{R}}{\mathcal{H}}^{n-1}(u^{-1}(t))dt={\int }_{{\mathbb{R}}^n}|Du(x)|dx.$$

为了理解这个式子, 给出一个不严谨 (但思路合理) 的推导. 假设可以反解出 $x_n=v(x^{\prime },t)(x^{\prime }=(x_1,\dots ,x_{n-1})\in {\mathbb{R}}^{n-1})$. 比如说当 ${\partial }_{n}u\ne 0$ 时, 根据隐函数定理, 在局部上就可以有这样的表示. 根据面积公式, $$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}{\mathcal{H}}^{n-1}(u^{-1}(t))dt& ={\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\sqrt{1+|{\partial }_{1}v{|}^2+\cdots +|{\partial }_{n-1}v{|}^2}{|}_{x_n=v(x^{\prime },t)}d{\mathcal{H}}^{n-1}(x^{\prime })dt\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}\sqrt{1+|-{\partial }_{1}u/{\partial }_{n}u{|}^2+\cdots +|-{\partial }_{n-1}u/{\partial }_{n}u}{|}^2{|}_{x_n=v(x^{\prime },t)}d{\mathcal{H}}^{n-1}(x^{\prime })dt\\ & ={\int }_{\mathbb{R}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}|{\partial }_{n}u{|}^{-1}|Du|{|}_{x_n=v(x^{\prime },t)}d{\mathcal{H}}^{n-1}(x^{\prime })dt\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\int }_{\mathbb{R}}|{\partial }_{n}u{|}^{-1}|Du|{|}_{x_n=v(x^{\prime },t)}dtd{\mathcal{H}}^{n-1}(x^{\prime })\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\int }_{\mathbb{R}}|Du|d{x}_{n}d{\mathcal{H}}^{n-1}(x^{\prime })={\int }_{{\mathbb{R}}^n}|Du|.\end{array}$$其中最后一行的第一个等号再次用到了面积公式以及 $|{\partial }_{t}v(x^{\prime },t)|=|{\partial }_{n}u(x^{\prime },v(x^{\prime },t)){|}^{-1}$

对于一般的情况, 考虑映射 $u:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\ge n)$, 将水平集的 $m-n$ 维 Hausdorff 测度进行积分, 即 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(u^{m-n}(y)){\mathcal{H}}^n(y)$, 则结果应当等于 $u$ 的 Jacobi 行列式或者余面积因子的积分.

定义 5.1 (余面积因子). 对于 $u:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\ge n)$, 如果 $u$ 在 $x$ 处可微, 定义余面积因子$$Ju(x)=\sqrt{\det (Du(x)Du(x{)}^T)},Du(x)=(D_j{u}_i(x){)}_{1\le i\le n,1\le j\le m}.$$

下面将给出余面积公式的陈述即证明, 方法在精神层面和面积公式有些相似. 同样首先给出若干引理.

引理 5.2. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\ge n)$ 是 Lipschitz 连续映射, 则对 Lebesgue 可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$, 关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^n$-可测的, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)\le \frac{{\omega }_n{\omega }_{m-n}}{{\omega }_m}\mathrm{Lip}(f{)}^n{\mathcal{H}}^m(E).$$其中 ${\omega }_n$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位球的体积, 即 ${\omega }_n={\pi }^{n/2}/\Gamma (n/2+1)$.

特别的, 如果 $|E|=0$, 则$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)=0.$$

证明. 只需证明对任意 $\delta >0$, 关于 $y$ 的函数 ${\mathcal{H}}_{\delta }^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^n$-可测的, 并且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}_{\delta }^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)\le \frac{{\omega }_n{\omega }_{m-n}}{{\omega }_m}\mathrm{Lip}(f{)}^n|E|.$$如果这件事得证, 那么利用单调收敛定理就完成了证明. 于是证明分为两部分, 一是证明可测性, 二是证明不等式成立. 实际上, 证明可测性是技巧性最强的, 而且需要用到上面的不等式, 因此先假设可测性成立并证明上面的不等式.

不妨设 $|E|<\infty$, 则对任意 $\epsilon >0$, 存在直径小于 $\delta$ 的可测集 $F_1,F_2,\dots$ 覆盖 $E$, 且$$\sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_m{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^n<|E|+\epsilon .$$定义可测函数 $g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为$$g(y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_{m-n}{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^{m-n}{\chi }_{f(F_i)}(y).$$因为使得 ${\chi }_{f(F_i)}(y)=1$ 的 $F_i$ 构成 $E\cap f^{-1}(y)$ 的覆盖, 所以$$g(y)\ge {\mathcal{H}}_{\delta }^{m-n}(E\cap f^{-1}(y)).$$对 $y$ 积分得到$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}_{\delta }^{m-n}(E\cap f^{-1}(y)){\mathcal{H}}^n(y)& \le {\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(y)d{\mathcal{H}}^n(y)\\ & =\sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_{m-n}{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^{m-n}{\mathcal{H}}^n(f(F_i))\\ & \le \sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_{m-n}{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^{m-n}\mathrm{Lip}(f{)}^n{\mathcal{H}}^n(F_i)\\ & \le \sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_{m-n}{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^{m-n}\mathrm{Lip}(f{)}^n{\omega }_n{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^n\\ & ={\omega }_{m-n}{\omega }_n\mathrm{Lip}(f{)}^n\sum _{i=1}^{\infty }{\left(\frac{\mathrm{diam}(F_i)}{2}\right)}^m\\ & \le \frac{{\omega }_n{\omega }_{m-n}}{{\omega }_m}\mathrm{Lip}(f{)}^n(|E|+\epsilon ).\end{array}$$由 $\epsilon$ 任意性即证.

最后来证明 ${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是关于 $y$ 的可测函数.

第一步: 如果 $E$ 是紧集, 则 $E\cap f^{-1}(y)$ 是包含在 $E$ 中的紧集, 根据下面的引理 5.3 可知 ${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是上半连续函数, 所以是可测函数.

第二步: 如果 $E$ 是开集, 则 $E$ 能够写成一列紧集的递增并, 即存在紧集 $K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots$ 使得 $E={\bigcup }_{i=1}^{\infty }{K}_i$. 于是 ${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))={\lim }_{i\to \infty }{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$, 所以是可测函数.

第三步: 如果 $|E|<\infty$, 则存在一列紧集 $K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots$ 和开集 $A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots$, 满足 $K_i\subseteq E\subseteq A_i$ 且 $|A_i\setminus K_i|\to 0$. 根据前两步以及上面证明的不等式, 有$$\begin{array}{rl}0& \le {\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\mathcal{H}}^{m-n}(A_i\cap f^{-1}(y))-{\mathcal{H}}^{m-n}(K_i\cap f^{-1}(y)))d{\mathcal{H}}^n(y)\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}((A_i\setminus K_i)\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)\le \frac{{\omega }_n{\omega }_{m-n}}{{\omega }_m}\mathrm{Lip}(f{)}^n|A_i\setminus K_i|.\end{array}$$因为 ${\mathcal{H}}^{m-n}(K_i\cap f^{-1}(y))$ 关于 $i$ 单增, ${\mathcal{H}}^{m-n}(A_i\cap f^{-1}(y))$ 关于 $i$ 单减, 且$${\mathcal{H}}^{m-n}(K_i\cap f^{-1}(y))\le {\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))\le {\mathcal{H}}^{m-n}(A_i\cap f^{-1}(y)).$$根据 Fatou 引理有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\underset{i\to \infty }{\lim }({\mathcal{H}}^{m-n}(A_i\cap f^{-1}(y))-{\mathcal{H}}^{m-n}(K_i\cap f^{-1}(y))){\mathcal{H}}^m(y)=0.$$所以对几乎所有 $y$ 成立$${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))=\underset{i\to \infty }{\lim }{\mathcal{H}}^{m-n}(K_i\cap f^{-1}(y))=\underset{i\to \infty }{\lim }{\mathcal{H}}^{m-n}(A_i\cap f^{-1}(y)),$$这就证明了 ${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 的可测性.

第四步: 对于一般的可测集 $E$, 将 $E$ 写成一列有限测度集的递增并, 利用第二步的方法和第三步的结论便完成了整个证明.

$\square$

引理 5.3. 设 $K_1,K_2,\dots$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的紧集, 且存在 $R>0$ 使得 $K_i\subseteq B(0,R)$. 定义$$K=\{x\in X\mid \exists \text{子列}{n}_k\to \infty \text{和}{x}_{n_k}\in K_{n_k},\text{使得}{x}_{n_k}\to x\}.$$则对任意 $m,\delta >0$ 有$${\mathcal{H}}_{\delta }^m(K)\ge \underset{i\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\mathcal{H}}_{\delta }^m(K_i).$$

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 取开集 $G_1,G_2,\dots$ 是 $K$ 的覆盖, 满足 $\mathrm{diam}(G_i)<\delta$, 且$$\sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_m{\left(\frac{\mathrm{diam}(G_i)}{2}\right)}^m\le {\mathcal{H}}_{\delta }^m(K)+\epsilon .$$

断言当 $i$ 充分大时, $K_i$ 包含在开集 $G={\bigcup }_{i=1}^{\infty }{G}_i$ 中. 若不然, 存在子列 $i_k\to \infty$ 和 $x_{i_k}\in K_{i_k}$, 使得 $x_{i_k}\notin G$. 但是, 因为 $K_i\subseteq B(0,R)$, 所以 $x_{i_k}$ 有收敛子列 $x_{i_{k^{\prime }}}$, 其极限落在 $K$ 中, 所以当 $k^{\prime }$ 充分大时必然有 $x_{i_{k^{\prime }}}\in G$, 矛盾!

因此, 当 $i$ 充分大时, $${\mathcal{H}}_{\delta }^m(K_i)\le \sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal{H}}_{\delta }^m(G_i)\le \sum _{i=1}^{\infty }{\omega }_m{\left(\frac{\mathrm{diam}(G_i)}{2}\right)}^m\le {\mathcal{H}}_{\delta }^m(K)+\epsilon .$$由 $\epsilon$ 任意性即证.

$\square$

引理 5.4. 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\ge n)$ 是 Lipschitz 连续映射, $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$ 是 Lebesgue 可测集. 如果对任意 $x\in E$ 都有 $Jf(x)=0$, 则关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^n$-可测的, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)=0.$$

证明. 仿照引理 4.4 的证明, 可以将 $E$ 切成若干小块, 每一小块上 $\mathrm{Lip}(f)$ 很小, 利用引理 5.2 的不等式进行放缩即可.

$\square$

现在可以来叙述并证明余面积公式, 约定几个记号.

定义 5.5. 对于 $m\ge n$, 将 $x\in {\mathbb{R}}^m$ 等同于 $(x^{\prime },x^{\prime \prime })\in {\mathbb{R}}^{m-n}\times {\mathbb{R}}^n$, 用 $p(x)=x^{\prime }$ 表示前 $m-n$ 个分量的投影, $q(x)=x^{\prime \prime }$ 表示后 $n$ 个分量的投影. 对于集合 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, 定义 $x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{m-n}$ 对应的截面为$$E_{x^{\prime }}=\{x^{\prime \prime }\in {\mathbb{R}}^n\mid (x^{\prime },x^{\prime \prime })\in E\}.$$类似的, 定义 $x^{\prime \prime }\in {\mathbb{R}}^n$ 对应的截面为$$E^{x^{\prime \prime }}=\{x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{m-n}\mid (x^{\prime },x^{\prime \prime })\in E\}.$$

定理 5.6 (余面积公式). 设 $f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n(m\ge n)$ 是 Lipschitz 连续映射, 则对 Lebesgue 可测集 $E\subseteq {\mathbb{R}}^m$, 关于 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 的函数 $y\mapsto {\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))$ 是 ${\mathcal{H}}^n$-可测的, 且$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)={\int }_{E}Jf(x)dx.$$

证明. 先对问题进行一些简化. 首先, 根据引理 5.2 和引理 5.4, 可以不妨设 $f$ 在 $E$ 上处处可微且 $Jf>0$. 其次, 对每个点 $x\in {\mathbb{R}}^m$, 存在 $n$ 个不同的坐标 $1\le i_1<\cdots <i_n\le m$, 使得 Jacobi 行列式$$\det \frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_n})}\ne 0.$$将 $E$ 按照 $i_1,\dots ,i_n$ 的不同进行划分, 可以不妨设 $f$ 在 $E$ 上满足$$\det \frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_{m-n+1},\dots ,x_n)}\ne 0.$$最后, 再像面积公式的证明里一样将 $E$ 划分成小块, 可以不妨设 $f$ 在 $E$ 上是单射, 并且 $f^{-1}$ 也是 Lipschitz 连续映射.

定义 $u:E\to {\mathbb{R}}^m$ 为$$u(x)=(x^{\prime },f(x)),$$则 $u$ 是 Lipschitz 单射, 并且 $u^{-1}:u(E)\to E$ 也是 Lipschitz 连续映射. 如果在 $u$ 在 $x$ 处可微, 且 $u^{-1}$ 在 $u(x)$ 处可微, 则有$$D{u}^{-1}(u(x))=Du(x{)}^{-1}.$$这件事实际上对 $a.e.x\in E$ 成立, 因为不满足条件的点要么落在 $u$ 不可微的点集中, 要么落在 $u^{-1}$ 不可微的点集被 $u^{-1}$ 映到的像中, 二者都是零测集.

将 $u^{-1}$ 写为 $v(z,y)(z\in {\mathbb{R}}^{m-n},y\in {\mathbb{R}}^n)$. 对于固定的 $y$, 将其视为关于 $z$ 的映射 $v_y(z):{\mathbb{R}}^{m-n}\to {\mathbb{R}}^m$. 对任意 $y\in {\mathbb{R}}^n$, 因为$$E\cap f^{-1}(y)=\{x\in E\mid f(x)=y\}=\{x\in E\mid qu(x)=y\}=v_y(u(E{)}^y).$$根据面积公式, 有$${\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))={\int }_{u(E{)}^y}J{v}_y(z){\mathcal{H}}^{m-n}(z).$$对 $y$ 积分, 再次使用面积公式, 得$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{H}}^{m-n}(E\cap f^{-1}(y))d{\mathcal{H}}^n(y)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{u(E{)}^y}J{v}_y(z)d{\mathcal{H}}^{m-n}(z)d{\mathcal{H}}^n(y)\\ & ={\int }_{u(E)}J{v}_y(z)d{\mathcal{H}}^m(y,z)\\ & ={\int }_{E}J{v}_{qu(x)}(pu(x))Ju(x){\mathcal{H}}^m(x).\end{array}$$

最后只需要证明$$J{v}_{qu(x)}(pu(x))Ju(x)=Jf(x),a.e.x\in E.$$(注意这里面 $J$ 既表示面积因子又表示余面积因子. )

这个式子的验证这就是简单的矩阵计算. 在几乎处处的意义下, 记$$Du(x)=\left(\begin{array}{cccccc}1& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& & 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 1& 0& \cdots & 0\\ {\partial }_1{f}_1(x)& \cdots & {\partial }_{m-n}{f}_1(x)& {\partial }_{m-n+1}{f}_1(x)& \cdots & {\partial }_m{f}_1(x)\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\partial }_1{f}_n(x)& \cdots & {\partial }_{m-n}{f}_n(x)& {\partial }_{m-n+1}{f}_n(x)& \cdots & {\partial }_m{f}_n(x)\end{array}\right)=:\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ B& A\end{array}\right),$$则$$Df(x)=\left(\begin{array}{cc}B& A\end{array}\right),$$$$Dv(u(x))=Du(x{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ -A^{-1}B& A^{-1}\end{array}\right),$$$$D{v}_{qu(x)}(qu(x))=\left(\begin{array}{c}I\\ -A^{-1}B\end{array}\right).$$

需要用到一个简单行列式性质, 即对任何矩阵 $A$ (未必是方阵) , 有 $\det (I+A^{T}A)=\det (I+A{A}^T)$ (见下面的注) . 则根据上面的表示有$$Ju(x)=|\det (A)|,$$$$Jf(x)=\sqrt{\det (B{B}^T+A{A}^T)},$$$$\begin{array}{rl}J{v}_{qu(x)}(pu(x))& =\sqrt{\det (I+(A^{-1}B{)}^T{A}^{-1}B)}\\ & =\sqrt{\det (I+A^{-1}B{B}^T(A^T{)}^{-1})}\\ & =\sqrt{\det (A{)}^{-1}\det (A{A}^T+B{B}^T)\det (A^T{)}^{-1}}\\ & =|\det (A){|}^{-1}\cdot \sqrt{\det (A{A}^T+B{B}^T)}.\end{array}$$这就证明了 $J{v}_{qu(x)}(pu(x))Ju(x)=Jf(x)$.

$\square$

注 5.7. 看见 $\det \partial (f_1,\dots ,f_n)/\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_n})\ne 0$, 一个自然的想法是用隐函数定理. 但是这里的函数性质不足够好, 不可能直接使用隐函数定理的结论. 证明采用的办法是构造 Lipschitz 双射 $u(x)=(x^{\prime },f(x))$, 来代替隐函数定理的使用.

最后使用了一个矩阵恒等式 $\det (I+A^{T}A)=\det (I+A{A}^T)$, 这是因为两边都等于$$\det \left(\begin{array}{cc}I& A\\ -A^T& I\end{array}\right).$$事实上, 先考虑分块初等行变换, 第二行加上第一行左乘 $A^T$, 得$$\det \left(\begin{array}{cc}I& A\\ -A^T& I\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}I& A\\ 0& I+A^{T}A\end{array}\right)=\det (I+A^{T}A).$$再考虑初等列变换, 第一列加上第二列右乘 $A^T$, 得$$\det \left(\begin{array}{cc}I& A\\ -A^T& I\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}I+A{A}^T& A\\ 0& I\end{array}\right)=\det (I+A{A}^T).$$

推论 5.8. 设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 Lipschitz 连续函数, $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 Lebesgue 可测集, 则关于 $t\in \mathbb{R}$ 的函数 $t\mapsto {\mathcal{H}}^{n-1}(E\cap f^{-1}(t))$ 是可测函数, 且$${\int }_{\mathbb{R}}{\mathcal{H}}^{n-1}(E\cap f^{-1}(t))dt={\int }_E|Df(x)|dx.$$

面积公式是换元公式的推广, 而余面积公式是 Fubini 定理的推广. 事实上, 由余面积公式能够得到对曲面积分进行切片的方法. 比如要求平面上单位圆的周长, 应该是$$2\pi ={\int }_{\partial B(0,1)}{\mathcal{H}}^1(y)={\int }_{-1}^1\frac{2dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$分子的 $2$ 是因为每个 $x$ 对应的纵截面有两个点, 而分母的 $\sqrt{1-x^2}$ 则是单位外法向量在 $y$ 轴方向上投影的长度. 具体的公式涉及到切向导数等概念, 故略去.

术语翻译

Lipschitz 连续映射 • 英文 Lipschitz continuous function • 德文 Lipschitzstetige Funktion (f) • 法文 application lipschitzienne (f)