Sobolev 空间

Sobolev 空间, 是一类具有更弱意义下的导数的函数空间, 一般来说, 对于$L^p$ 空间的函数, 我们无法做微分, 也无法谈导数的积分性质. 因此, 我们介绍更弱意义下的导数, 并且研究那些更弱意义的导数仍在 $L^p$ 空间的函数性质. 这一类函数往往在偏微分方程中凭借着 $L^p$ 空间的良好泛函性质有着重要的应用和结果.

1定义

定义 1.1 (弱导数). 令 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集, $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(U)$ 上的函数. 我们称 $g_i\in L_{\mathrm{loc}}^1(U)$ 是 $f$ 的弱导数, 如果满足$${\int }_{U}f(x)\cdot {\partial }_{x_i}\phi (x)dx=-{\int }_U{g}_i(x)\cdot \phi (x)dx\forall \phi \in C_c^{\infty }(U)$$并且记 ${\partial }_{x_i}f=g_i$. 在本词条中, ${\partial }_{x_i}f$ 均表示 $f$ 的弱导数.

注 1.2. 定义 1.1 中, 弱导数的定义与分布理论中的分布导数的定义是同样的. 根据分布理论, 任意 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1$ 作为一个分布均有分布导数, 但是其分布导数也许是一个分布而不是一个函数. 这里我们称弱导数存在, 如果其分布导数是一个 $L_{\mathrm{loc}}^1$ 的函数.

定义 1.3 (Sobolev 空间). 令 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集, $1\le p\le +\infty$. Sobolev 空间 $W^{1,p}(U)$ 定义为: $$W^{1,p}(U):=\{f\in L^p\mid {\partial }_{x_i}f存在且{\partial }_{x_i}f\in L^p,i=1,\dots ,n\}$$这里 $W^{1,p}$ 角标上 $1$ 代表一阶微分, $p$ 代表 $L^p$ 函数.

2相关概念

术语翻译

Sobolev 空间 • 英文 Sobolev space • 德文 Sobolev–Raum • 法文 espace de Sobolev