隐函数定理

在微积分中, 隐函数定理表明在适当的条件下, 一个函数的零点集可以被视为另一个函数的图像, 后者被称为由前者确定的隐函数.

1定理和证明

定理 1.1 (隐函数定理). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^{m+n}$ 是开集, $F:U\to {\mathbb{R}}^n$ 是一个 $C^p$ 映射. 假设 $(x_0,y_0)\in U$ (其中 $x_0\in {\mathbb{R}}^m$, $y_0\in {\mathbb{R}}^n$) 满足以下条件:

•	$F(x_0,y_0)=0$, 且 $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ 是 $n$ 阶可逆矩阵.

则存在 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $U_x\times U_y\subset U$, 以及 $C^p$ 函数 $f:U_x\to U_y$ , 使得$$F(x,y)=0⟺y=f(x),$$其中 $x\in U_x$, $y\in U_y$ . 并且, 若 $y=f(x)$, 则$$f^{\prime }(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y){)}^{-1}(\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)).$$

证明. 定义映射 $G:U\to {\mathbb{R}}^{m+n}$, $$G(x,y)=(x,F(x,y)).$$由反函数定理, $G$ 有局部逆映射. 具体地说, 存在 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $V=U_x\times U_y\subset U$, 以及 $(x_0,0)$ 的邻域 $W\subset {\mathbb{R}}^{n+m}$, 使得 $G{|}_V$ 具有 $C^p$ 的逆映射 $G^{-1}:W\to V$. 则 $G^{-1}$ 一定具有如下形式: $$G^{-1}(u,v)=(u,H(u,v)),$$其中 $H:W\to U_y$ 是 $C^p$ 映射. 我们可以适当缩小 $U_x$, 将它替换为 $(U_x\times \{0\})\cap W$, 并对应修改 $W$ 为 $G(U_x\times U_y)$, 这样就有 $U_x\times \{0\}\subset W$. 我们只需要定义$$f(x)=H(x,0),$$其中 $x\in U_x$, 即满足定理的要求.

至于 $f^{\prime }$ 的表达式, 反函数定理给出分块矩阵的等式$$1_{m+n}=(G^{-1}{)}^{\prime }{G}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{1}_m& 0_{m\times n}\\ \frac{\partial H}{\partial u}& \frac{\partial H}{\partial v}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1}_m& 0_{m\times n}\\ \frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\end{array}\right).$$注意到 $f^{\prime }=\frac{\partial H}{\partial u}$. 考虑等式的右下分块, 得到 $\frac{\partial H}{\partial v}=(\frac{\partial F}{\partial y}{)}^{-1}$. 再考虑等式的左下分块, 就得到了计算 $f^{\prime }$ 的公式.

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2相关概念

术语翻译

隐函数定理 • 英文 implicit function theorem