Newton 多边形

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• 赋值的值群都包含于 $\mathbb{R}$.

Newton 多边形是实值赋值域上一元多项式、形式幂级数的数值不变量, 用它可以快速看出零点的赋值. 它的理论推广了多项式素性的 Eisenstein 判别法.

1定义

定义 1.1. 设域 $K$ 带有赋值 $v:K\to \mathbb{R}\cup \{\infty \}$, $f(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]$. 则 $f$ 的 Newton 多边形, 记作 $\mathrm{NP}(f)$, 指平面点集 $\{(n,v(a_n))\mid n\in \mathbb{N}\}$ 的下凸包, 也即点集$$\{(n,y)\mid n\in \mathbb{N},y\in \mathbb{R},y\ge v(a_n)\}\subseteq {\mathbb{R}}^2$$的凸包. 此凸包的下边界由一些线段组成, 称它们为 Newton 多边形的边, 并定义一条边的长度为其两端点横坐标之差. 如其左边界异于 $y$ 轴, 则也把它称为边, 定义其长度为其横坐标. 显然, 这些边的斜率从左到右递增. 有时也用 Newton 多边形一词指这些边.

2性质

定理 2.1. 设 $K$ 是完备、代数闭的赋值域, $f(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]$ 非零, 满足 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{v(a_n)}{n}=+\infty$, 即 $f$ 的收敛半径为 $\infty$. 则 $f(t)$ 各零点的赋值恰是其 Newton 多边形各边斜率的相反数, 每个赋值出现的次数是其所对应边的长度.

以下推论是 Eisenstein 判别法的加强.

推论 2.2. 设 $K$ 是 Hensel 赋值域, $f\in K[t]$ 是首一多项式. 则 $f$ 在代数闭包 $K^{\text{a}}$ 中各个根的赋值恰是其 Newton 多边形各边斜率的相反数, 且每个赋值出现的次数是其所对应边的长度. 此外, $f$ 在 $K$ 上可以唯一分解为 Newton 多边形只有一条边的首一多项式之积. 而对 Newton 多边形只有一条边的 $f$, 其各素因子的次数都被 $(\mathbb{Z}\times v(K))\cap \mathrm{NP}(f)$ 里点的横坐标间隔整除. 特别地, 如 $(\mathbb{Z}\times v(K))\cap \mathrm{NP}(f)$ 只有端点, 则 $f$ 不可约.

(要写有限收敛半径情形.)

可将 Newton 多边形看成 $\mathbb{R}$ 上的凸函数, 仍记作 $\mathrm{NP}(f)$, 其中左右边界之外的点函数值定为 $+\infty$. 这样便可考虑其 Legendre 变换, 它反映幂级数在不同圆盘内的上确界范数. 以下对凸函数 $\phi (x)$, 记其 Legendre 变换为 $\mathcal{L}(\phi )(u)={\inf }_{x\in \mathbb{R}}(\phi (x)+ux)$, 它把凸函数一一映射到凹函数, 反变换为 $\tilde{\mathcal{L}}(\psi )(x)={\sup }_{u\in \mathbb{R}}(\psi (u)-ux)$. 注意这和 Legendre 变换的通常约定差一些符号. 定义 $(\phi \ast \psi )(x)={\inf }_{a+b=x}(\phi (a)+\psi (b))$, 则不难验证 $\mathcal{L}(\phi \ast \psi )=\mathcal{L}(\phi )+\mathcal{L}(\psi )$.

命题 2.3. $K$ 是赋值域, $f,g\in K[[t]]$. 则 $\mathrm{NP}(fg)=\mathrm{NP}(f)\ast \mathrm{NP}(g)$, $\mathcal{L}(\mathrm{NP}(fg))=\mathcal{L}(\mathrm{NP}(f))+\mathcal{L}(\mathrm{NP}(g))$.

命题 2.4. $K$ 是完备代数闭赋值域, $f\in K[[t]]$. 则对 $u\in \mathbb{R}$, $\mathcal{L}(\mathrm{NP}(f))(u)=\inf \{v(f(c))\mid c\in K,v(c)>u\}$.

3例子

例 3.1. 用 Newton 多边形可以说明多项式 $E_n(t)={\sum }_{j=0}^n\frac{t^j}{j!}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约. 对素数 $p$, 考虑 $E_n$ 关于 $p$ 进赋值的 Newton 多边形. 由经典的 Kummer 定理, $v_p(j!)=\frac{j-s_p(j)}{p-1}$, 其中 $s_p(j)$ 为 $j$ 的 $p$ 进制展开各位数字之和. 由此不难发现该 Newton 多边形上的整点横坐标都是 $p^{v_p(n)}$ 的倍数. 于是由推论 2.2, $E_n$ 在 ${\mathbb{Q}}_p$ 上素因子次数都被 $p^{v_p(n)}$ 整除. 这对任意 $p$ 成立, 故 $E_n$ 在 $\mathbb{Q}$ 上素因子次数被 ${\prod }_p{p}^{v_p(n)}=n$ 整除, 即 $E_n$ 不可约.

同样的办法还能说明对 $\alpha \in \mathbb{Q}\setminus {\mathbb{Z}}_{-}$, Laguerre 多项式族 $L_n^{(\alpha )}(t)={\sum }_{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n-j}\right)\frac{(-t{)}^j}{j!}$ 在 $n$ 充分大时不可约.

4相关概念

•	Eisenstein 判别法
•	Hensel 引理
•	Newton 多胞体
•	Harder–Narasimhan 滤链

术语翻译

Newton 多边形 • 英文 Newton polygon • 德文 Newtonpolygon • 法文 polygone de Newton