Hensel 引理

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Hensel 引理是个交换代数中的定理, 说的是完备环上多项式在剩余域的单根可以提升到环上. 它是 Newton 迭代的非 Archimedes 类比, 在代数数论和代数几何中有广泛应用.

1定理与证明

定理 1.1 (Hensel). $R$ 是环, $I$ 是其理想, $R$ 关于 $I$ 完备. 设 $f\in R[x]$ 和 $a_0\in R/I$ 满足 $\bar{f}(a_0)=0$, ${\bar{f}}^{\prime }(a_0)\in (R/I{)}^{\times }$, 其中 $\bar{f}\in R/I[x]$ 为 $f$ 模 $I$. 则存在唯一 $a\in R$, 在 $R/I$ 的像为 $a_0$, 且满足 $f(a)=0$.

证明. 以 $f_n$ 表示 $f$ 模 $I^{n+1}$. 我们归纳证明存在唯一 $a_n\in R/I^{n+1}$ 使得 $f_n(a_n)=0$ 且 $a_n\equiv a_{n-1}(\mathrm{mod}{I}^n)$. 这样由完备性即可得到结论.

$n=0$ 时就是条件. $n>0$ 时由归纳假设已知 $a_{n-1}$ 存在唯一. 首先任取 $b\in R/I^{n+1}$ 使其模 $I^n$ 等于 $a_{n-1}$, 则 $f_n(b)\in I^n/I^{n+1}$. 现在 $a_n$ 需要满足 $a_n\in b+I^n/I^{n+1}$, 且 $f_n(a_n)=0$. 于是设 $a_n=b+c$, $c\in I^n/I^{n+1}$. 则由 $c^2=0$, 有$$f_n(a_n)=f_n(b)+f_n^{\prime }(b)c.$$注意 $f_n^{\prime }(b)$ 模 $I$ 等于 ${\bar{f}}^{\prime }(a_0)$, 由条件为可逆, 故它本身在 $R/I^{n+1}$ 中可逆. 于是 $f_n(a_n)=0$ 等价于 $c=-\frac{f_n(b)}{f_n^{\prime }(b)}$. 由此即知 $a_n$ 存在唯一.

$\square$

2推论

(这些东西不如放到 Newton 多边形条目.)

推论 2.1. $(A,\mathfrak{m})$ 是完备的离散赋值环, 剩余域为 $k$, 分式域为 $K$. 若 $f\in K[x]$ 是一个不可约多项式, 且首项系数和常数项均在 $A$ 中, 那么 $f\in A[x]$.

证明. 利用反证法, 假设该结论不成立. 设 $\mathfrak{m}=(\pi ),f(x)={\sum }_{i=0}^n{f}_i{x}^i(f_n\ne 0)$, 记 $r=\min \{v_{\mathfrak{m}}(f_i)\}$, 则 $F={\pi }^{-r}f\in A[x]$. 由反证假设, $\bar{F}=g_0{h}_0$, 其中, $g_0=x^r,0<r<n,x\nmid h_0$. 进而我们利用 Hensel 引理, 可知存在 $g,h\in A[x]$, 使得 $\mathrm{deg}(g)=\mathrm{deg}(g_0)$, $F=gh$. 由 $g$ 的次数可知这是一个非平凡分解, 这与 $f$ 不可约相矛盾.

$\square$

注 2.2. 这对于一般的完备局部环并不成立, 如 $k[[x,y]]$ 是完备局部环, 但 $T^2-\frac{y}{x}T+1$ 不可约.

推论 2.3. $A$ 是一个完备的离散赋值环, 其分式域为 $K$. $L/K$ 是一个 $n$ 次域扩张. 则 $\alpha$ 在 $A$ 上整当且仅当 $N_{L/K}(\alpha )\in A$.

证明. 记 $\alpha$ 的极小多项式为 $f$, $e=[L:K(\alpha )]$. 若 $\alpha$ 在 $A$ 上整, 由于 $A$ 是整闭的, 故 $f\in A[x]$(具体证明参见条目整同态), $N_{L/K}(\alpha )=(-1{)}^{n}f(0{)}^e\in A$.

若 $N_{L/K}(\alpha )=(-1{)}^{n}f(0{)}^e\in A$, 则由于 $A$ 整闭, 故 $f(0)\in A$. $f$ 是极小多项式, 显然首项系数在 $A$ 中, 且不可约. 故由 2.1, $f\in A[x]$, 故 $\alpha$ 在 $A$ 上整.

$\square$

3推广

Hensel 引理中的单根条件可以放松, 只要一开始的根在模理想的高次方时存在.

定理 3.1. $R$ 是环, $I$ 是其理想, $R$ 关于 $I$ 完备. 设 $f\in R[x]$ 和 $a_0\in R$ 满足 $f(a_0)\in f^{\prime }(a_0{)}^{2}I$. 则存在 $a\in R$ 模 $f^{\prime }(a_0)I$ 同余 $a_0$, 且 $f(a)=0$. 如 $f^{\prime }(a_0)\in R$ 不是零因子, 则 $a$ 唯一.

还可将求根推广为因式分解.

4例子

•	Hensel 引理最典型的使用场景是 $p$ 进整数 ${\mathbb{Z}}_p$. 比如对 $f(x)=x^p-x$ 使用, 由于 $f^{\prime }(x)\equiv -1(\mathrm{mod}p)$ 显然可逆, 其在 ${\mathbb{F}}_p$ 的根 $0,1,\dots ,p-1$ 都在 ${\mathbb{Z}}_p$ 有唯一提升. 换言之, ${\mathbb{Z}}_p$ 中有 $p-1$ 次单位根.
•	仍考虑 ${\mathbb{Z}}_p$, 对 $x^2-a$ 使用 Hensel 引理, 其中 $p\nmid a$. 当 $p>2$ 时这说明 $a$ 在 ${\mathbb{Z}}_p$ 中是平方当且仅当它在 ${\mathbb{F}}_p$ 中是平方, 即 $a\mathrm{mod}p$ 是二次剩余. $p=2$ 时这说明 $a$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 中是平方当且仅当它在 $\mathbb{Z}/8$ 中是平方, 即 $a\equiv 1(\mathrm{mod}8)$.

5相关概念

•	完备环
•	Newton 迭代
•	Newton 多边形

术语翻译

Hensel 引理 • 英文 Hensel’s lemma • 德文 henselsches Lemma • 法文 lemme de Hensel