Quillen 定理 B

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 对 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 以 $|\mathcal{C}|$ 记其几何实现, 即 $\mathcal{C}$ 逆掉所有态射所得 $\infty$-群胚.

Quillen 定理 B 是 Daniel Quillen 提出的几个关于范畴几何实现的定理之一. 它对函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及对象 $d\in \mathcal{D}$, 讨论逗号范畴 $d/f$ 的几何实现何时是 $f$ 的几何实现 $|f|:|\mathcal{C}|\to |\mathcal{D}|$ 的同伦纤维 (推论 1.2).

1陈述

以下是其现代陈述.

定理 1.1. 设$${\mathcal{C}}^{\prime }\mathcal{C}{\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{D}p{f}^{\prime }fq$$是范畴的拉回图表, 其中 $q$ 是左纤维化. 设 $\mathcal{D}$ 中任一态射 $x\to y$ 在逗号范畴上给出的函子 $y/f\to x/f$ 的几何实现都是同构. 则$$|{\mathcal{C}}^{\prime }||\mathcal{C}||{\mathcal{D}}^{\prime }||\mathcal{D}||p||f^{\prime }||f||q|$$是生象的拉回图表.

对 $d\in \mathcal{D}$ 取 ${\mathcal{D}}^{\prime }$ 为仰范畴 ${\mathcal{D}}_{d/}$, 即得:

推论 1.2. 设 $\mathcal{C}$、$\mathcal{D}$ 是范畴, $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是函子. 设 $\mathcal{D}$ 中任一态射 $x\to y$ 在逗号范畴上给出的函子 $y/f\to x/f$ 的几何实现都是同构. 则$$|d/f||\mathcal{C}|\ast =|{\mathcal{D}}_{d/}||\mathcal{D}||f|$$是生象的拉回图表, 换言之 $|d/f|$ 是 $|f|:|\mathcal{C}|\to |\mathcal{D}|$ 在 $d$ 处的纤维.

2证明

把 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 分解为共尾函子 $i:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 与右纤维化 $g:\mathcal{E}\to \mathcal{D}$, 并作纤维图表$${\mathcal{C}}^{\prime }\mathcal{C}{\mathcal{E}}^{\prime }\mathcal{E}{\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{D}p{i}^{\prime }ir{g}^{\prime }gq$$由引理 2.1, $i^{\prime }$ 也共尾, 所以 $i$ 和 $i^{\prime }$ 的几何实现都是同构; 此外, 对任意 $x\in \mathcal{D}$, 由共尾性, 函子 $x/i:x/f\to x/g$ 的几何实现也是同构; 这样我们就把定理 1.1 化归到了 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是右纤维化的情形. 此时对任意 $x\in \mathcal{D}$, 含入函子 ${\mathcal{C}}_x\to x/f$ 共首, 从而在几何实现上是同构, 所以定理条件就是在说 $f$ 局部常. 令 $C^{\prime }=|\mathcal{C}|{\times }_{|\mathcal{D}|}|{\mathcal{D}}^{\prime }|$, 我们要证明自然映射 $|{\mathcal{C}}^{\prime }|\to C^{\prime }$ 是同构. 为此考虑范畴的交换图表$${\mathcal{C}}^{\prime }\mathcal{C}{C}^{\prime }|\mathcal{C}|{\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{D}|{\mathcal{D}}^{\prime }||\mathcal{D}|p{f}^{\prime }f|f|q|q|$$依定义, 图表的正面和背面都是拉回; 由命题 2.2, 右面是拉回; 故由三拉回引理, 左面也是拉回, 此时再用命题 2.2 即得欲证, 因为 $f^{\prime }$ 也是局部常右纤维化.

$\square$

引理 2.1. 设$${\mathcal{C}}^{\prime }\mathcal{C}{\mathcal{E}}^{\prime }\mathcal{E}p{i}^{\prime }ir$$是范畴的拉回图表, 其中 $r$ 是左纤维化, $i$ 共尾. 则 $i^{\prime }$ 也共尾.

以下命题是右纤维化局部常的等价刻画, 证明参见局部常纤维范畴条目.

命题 2.2. 左纤维化 $p:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 局部常当且仅当$$\mathcal{C}|\mathcal{C}|\mathcal{D}|\mathcal{D}|p|p|$$是范畴的拉回方块. 此时如$$\mathcal{C}C\mathcal{D}|\mathcal{D}|p\bar{p}$$是范畴的拉回方块, 则 $(C,\bar{p})=(|\mathcal{C}|,|p|)$.

3相关概念

术语翻译

Quillen 定理 B • 英文 Quillen’s theorem B