Quillen 定理 A

Quillen 定理 A 是 Daniel Quillen 提出的几个关于 $(\infty ,1)$-范畴的几何实现的定理之一.

1陈述

以下是其现代陈述.

定理 1.1 (Quillen 定理 A). 对于 $(\infty ,1)$-函子 $\alpha :\mathcal{I}\to \mathcal{J}$, 以下条件等价:

1.	$\alpha$ 是$(\infty ,1)$-共尾函子.
2.	对于任意右纤维化 $f:X\to \mathcal{J}$, 都有自然同构$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{I},X)\stackrel{\sim }{\to }{\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},X)$$
3.	对于任意 $j\in \mathcal{J}$, 拉回$${\mathcal{I}}_{j/}:=\mathcal{I}{\times }_{\mathcal{J}}{\mathcal{J}}_{j/}{\mathcal{J}}_{j/}\mathcal{I}\mathcal{J}$$均弱可缩, 即 $|{\mathcal{I}}_{j/}|\simeq \ast$.

对偶地给出共首, 左纤维化以及 ${\mathcal{I}}_{/j}$ 的情况.

推论 1.2. 右纤维化是共尾的.

2证明

首先说明前两条的等价性 (方便起见, 证明共首版本), 令 $F:\mathcal{J}\to \mathsf{Ani}$ 为 $\mathcal{U}\to \mathcal{J}$ 的反直化. 则拉回 ${\alpha }^{\ast }(\mathcal{U})\to \mathcal{I}$ 给出 $F\circ \alpha :\mathcal{I}\to \mathsf{Ani}$ 的反直化. 而由取值在 $\mathsf{Ani}$ 中的 $(\infty ,1)$-极限刻画可知$${\lim }_{j\in \mathcal{J}}F(j)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},\mathcal{U}).$$同理再进行些微计算可得$${\lim }_{i\in \mathcal{I}}F(\alpha (i))\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}}(\mathcal{I},{\alpha }^{\ast }(\mathcal{U}))\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}}(\mathcal{I},\mathcal{U}).$$因此, 2. 成立当且仅当 1. 对于全体函子 $F:\mathcal{J}\to \mathsf{Ani}$ 成立. 而后令 $F:\mathcal{J}\to \mathcal{C}$ 为任意函子. 由于 Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 与极限交换, 且全忠实. 因此 1. 关于函子 $F:\mathcal{J}\to \mathcal{C}$ 成立当且仅当其关于 $y\circ F:\mathcal{J}\to \mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 成立, 而后者中极限是逐分量计算的, 且等价也是如此, 因此约化到打向 $\mathsf{Ani}$ 的情况. 从而说明了前两条的等价性.
接下来说明 1. 推 3. , 现在考虑函子 $\mathcal{J}(j_0,-):\mathcal{J}\to \mathsf{Ani}$, 不难发现其反直化为投影态射 $t:{\mathcal{J}}_{j_0/}\to \mathcal{J}$. 因此计算余极限给出$${\mathrm{colim}}_{j\in \mathcal{J}}\mathcal{J}(j_0,j)\simeq |{\mathcal{J}}_{j_0/}|,$$而后者有始对象 $1_{j_0}$ 这给出 $\{1_{j_0}\}$ 与 $|{\mathcal{J}}_{j_0/}|$ 之间的伴随对, 对其进行几何实现后给出同伦等价 $|{\mathcal{J}}_{j_0/}|\simeq \ast$. 而后由于 $\mathcal{J}(j_0,\alpha (-))$ 的反直化为 ${\mathcal{I}}_{j_0/}\to \mathcal{I}$. 从而给出$$|{\mathcal{I}}_{j_0/}|\simeq {\mathrm{colim}}_{i\in \mathcal{I}}\mathcal{J}(j_0,\alpha (i))\simeq {\mathrm{colim}}_{j\in \mathcal{J}}\mathcal{J}(j_0,j)\simeq |{\mathcal{J}}_{j_0/}|\simeq \ast .$$接下来说明 3. 能推 2. 对于函子 $\alpha :\mathcal{I}\to \mathcal{J}$, 它可以分解为$$\mathcal{I}\stackrel{i\mapsto (i,1_{\alpha (i)})}{\to }\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J})\stackrel{t}{\to }\mathcal{J}$$容易说明前半段为投影函子 $\mathcal{I}\times \alpha ,\mathcal{J},s\mathsf{Ar}(\mathcal{J})\to \mathcal{I}$ 的右伴随. 不难说明右伴随为共尾函子, 因此其自动满足 2.. 不难发现 $t:\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J})\to \mathcal{J}$ 为推出纤维化且对于任意 $j\in \mathcal{J}$, 纤维 $t^{-1}(\{j\})\simeq {\mathcal{I}}_{j/}$ 弱可缩. 因此根据引理 2.1 说明其满足 2. 接下来推回 $\mathcal{I}$ 上. 给定任意右纤维化 $X\to \mathcal{J}$, 根据前文以及引理 2.3, 有$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},X)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J}),X)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J})}(\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J}),t^{\ast }(X))$$由于右纤维化在拉回下稳定, 因此$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J})}(\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J}),t^{\ast }(X))\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{I}{\times }_{\alpha ,\mathcal{J},s}\mathsf{Ar}(\mathcal{J})}(\mathcal{I},t^{\ast }(X))\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{I},X).$$从而给出 3. 推 2.

$\square$

引理 2.1. 对于任意右纤维化 $f:X\to \mathcal{J}$, 拉回纤维化 $p:\mathcal{U}\to \mathcal{J}$ 满足$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{U},X)\simeq {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},X)$$当且仅当对于任意 $j\in \mathcal{J}$ 都有 $|p^{-1}\{j\}|\simeq \ast$.

证明. 记 $p:\mathcal{U}\to \mathcal{J}$ 的直化为 $E:{\mathcal{J}}^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$. 且右纤维化 $f:X\to \mathcal{J}$ 的直化为 $F:{\mathcal{J}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$. 则直化定理给出同构$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{U},X)\simeq \mathsf{Cart}(\mathcal{J})(\mathcal{U},X)\simeq \mathsf{Fun}({\mathcal{J}}^{\mathrm{op}},{\mathsf{Cat}}_{\infty })(E,F)$$此处第一个等价是因为 $X$ 中的全体态射均为 $f$-拉回态射, 从而 ${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{U},X)$ 中函子自动保持拉回态射, 因此给出等价. 而后利用伴随 $|-|⊣\iota$ (此处 $\iota :\mathsf{Ani}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 为嵌入函子) 给出同构$$\mathsf{Fun}({\mathcal{J}}^{\mathrm{op}},{\mathsf{Cat}}_{\infty })(E,F)\simeq \mathsf{Fun}({\mathcal{J}}^{\mathrm{op}},{\mathsf{Cat}}_{\infty })(|E|,F)$$由于 $1_{\mathcal{J}}$ 的直化为 $\underline{\ast }:{\mathcal{J}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$. 这说明$${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},X)\simeq \mathsf{Fun}({\mathcal{J}}^{\mathrm{op}},{\mathsf{Cat}}_{\infty })(\underline{\ast },F).$$从而 ${\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{U},X)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{J}}(\mathcal{J},X)$ 为同构当且仅当 $|E|\Rightarrow \underline{\ast }$ 为同构, 而函子之间的同构可以逐点刻画, 因此这相当于说 $p$ 直化后逐点弱可缩, 换句话说 $p$ 的纤维均弱可缩.

$\square$

引理 2.2. 令 $p:\mathcal{U}\to \mathcal{J}$ 为拉回纤维化, 则对于任意 $j\in \mathcal{J}$, 函子 $p^{-1}(\{j\})\to \mathcal{U}{\times }_{\mathcal{J}}{\mathcal{J}}_{j/}$ 具有右伴随. 特别地, 有生象的同伦等价 $|p^{-1}(\{j\})\simeq |\mathcal{U}{\times }_{\mathcal{J}}{\mathcal{J}}_{j/}|$.

引理 2.3. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-函子, 则拉回 $F^{\ast }:{\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{D}}\to {\mathsf{Cat}}_{\infty /\mathcal{C}}$ 有左伴随, 它将 $f:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 映为 $F\circ f$.

3相关概念

•	Quillen 定理 B
•	$(\infty ,1)$-极限
•	$(\infty ,1)$-共尾函子

术语翻译

Quillen 定理 A • 英文 Quillen’s theorem A