Stark 猜想

Stark 猜想是代数数论中关于 Artin $L$ 函数特殊值的重要猜想, 描述类数公式关于数域 Galois 扩张的分解, 也是类数公式在 Artin $L$ 函数上的推广.

1陈述

设 $L/K$ 是数域的 Galois 扩张, $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 为 Galois 群, $Z=Z(\mathbb{Q}[G])$ 为群环的中心. 由有限群的常表示论,$$\mathbb{C}[G]\cong \prod _{\rho }{\mathrm{M}}_{\dim (\rho )}(\mathbb{C}),$$其中 $\rho$ 取遍 $G$ 的不可约复表示. 以 $e_{\rho }$ 记 $\rho$ 对应的 $\mathbb{C}[G]$ 的中心幂等元, 将 Artin $L$ 函数打包为$$\mathcal{L}(s,L/K)=\sum _{\rho }L(s,\rho ,L/K)e_{\rho },$$则其取值在 $Z(\mathbb{C}[G])=Z_{\mathbb{C}}$. 以下省去记号中的 $L/K$. 记$${\mathcal{L}}^{\ast }(0)=\sum _{\rho }{L}^{\ast }(0,\rho )e_{\rho },$$其中 $L^{\ast }(0,\rho )$ 是 $L(s,\rho )$ 在 $0$ 处 Taylor 展开的首项系数, 则 ${\mathcal{L}}^{\ast }(0)\in Z_{\mathbb{R}}^{\times }$. 另一方面, 记 $U={\mathcal{O}}_L^{\times }$ 为单位群, $S$ 为 $L$ 的 Archimedes 素点之集, 则 Dirichlet 单位定理给出 $\mathbb{R}[G]$-模短正合列$$0U_{\mathbb{R}}\mathbb{R}S\mathbb{R}0,\log {\Sigma }_{\mathbb{R}}$$亦即 $\log$ 给出同构 $U_{\mathbb{R}}\cong \ker ({\Sigma }_{\mathbb{R}})$. 由于 ${\Sigma }_{\mathbb{R}}$ 显然是 $\mathbb{Q}[G]$-模同态 $\Sigma :\mathbb{Q}S\to \mathbb{Q}$ 的基变换, $\ker ({\Sigma }_{\mathbb{R}})=\ker (\Sigma {)}_{\mathbb{R}}$, 所以 $U_{\mathbb{Q}}$ 与 $\ker (\Sigma )$ 作为 $\mathbb{Q}[G]$-模有不自然的同构. 任取同构 $\phi :\ker (\Sigma )\to U_{\mathbb{Q}}$, 则 ${\phi }_{\mathbb{R}}\circ \log \in {\mathrm{Aut}}_{\mathbb{R}[G]}(U_{\mathbb{R}})$. 于是半单代数的行列式构造给出元素 ${\det }_{\mathbb{R}[G]}({\phi }_{\mathbb{R}}\circ \log )\in Z_{\mathbb{R}}^{\times }$. 这依赖 $\phi$ 的选取, 但 $\phi$ 定义在 $\mathbb{Q}$ 上, 所以该元素在 $Z_{\mathbb{R}}^{\times }/Z^{\times }$ 的像是典范的, 记作 $\mathcal{R}$. Stark 猜想陈述如下:

猜想 1.1. 在 $Z_{\mathbb{R}}^{\times }/Z^{\times }$ 中, ${\mathcal{L}}^{\ast }(0)=\mathcal{R}$.

简而言之, Artin $L$ 函数在 $0$ 处的取值, 在差一个有理群环元素倍的意义下, 由单位群的信息给出.

2简单情形

3相关概念

•	Artin $L$ 函数
•	类数公式

术语翻译

Stark 猜想 • 英文 Stark conjectures