Stone–Weierstraß 定理

Stone–Weierstraß 定理是个实分析定理, 给出紧 Hausdorff 空间上连续函数族能一致逼近任意连续函数的充分条件. Karl Weierstraß 首先于 1885 年证明了其在闭区间上的版本, 尔后 Marshall Stone 于 1937 年证明了一般情形.

1定理与证明

为方便陈述, 先引入一个概念.

定义 1.1. 称集合 $X$ 上的函数族 $A$ 区分点, 指的是对互异两点 $x,y\in X$, 存在 $a\in A$ 使得 $a(x)\ne a(y)$.

Stone–Weierstraß 定理有好几个版本.

定理 1.2 (格版本). $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $\mathbb{R}(X)$ 指其实值连续函数环. 设 $\mathbb{R}$-线性子空间 $A\subseteq \mathbb{R}(X)$ 满足:

•	区分点;
•	$1\in A$;
•	对任意 $a,b\in A$ 都有 $\max \{a,b\},\min \{a,b\}\in A$;

则 $A$ 能一致逼近任意连续函数. 换言之, 对任意 $f\in \mathbb{R}(X)$ 以及 $\epsilon \in {\mathbb{R}}_{+}$, 存在 $a\in A$ 使得 $\Vert f-a\Vert ={\sup }_{x\in X}|f(x)-a(x)|<\epsilon$.

证明. 取定 $f\in \mathbb{R}(X)$ 以及 $\epsilon \in {\mathbb{R}}_{+}$, 我们来找逼近 $f$ 的 $a\in A$.

先证对任意互异两点 $x,y\in X$ 以及任意 $r,s\in \mathbb{R}$, 存在 $a\in A$ 使得 $a(x)=r$, $a(y)=s$. 为此考虑 ${\mathbb{R}}^2$ 的子集$$\{(a(x),a(y))\in {\mathbb{R}}^2\mid a\in A\}.$$由 $A$ 是线性空间知它是线性空间; 由 $A$ 区分点以及 $1\in A$ 知它里面有两个元素线性无关; 所以它就是 ${\mathbb{R}}^2$, 得所欲证.

现对每个 $x\in X$ 记 $K_x=\{z\in X\mid f(z)\ge f(x)+\epsilon \}$, 则它是与 $X$ 无交的紧集. 再对每个 $y\in K_x$ 取函数 $a_{x,y}\in A$, 使得 $a_{x,y}(x)=f(x)$, $a_{x,y}(y)>f(y)$. 记 $U_y=\{z\in X\mid a_{x,y}(z)>f(z)\}$ 为 $y$ 的邻域, 则 $U_y$ 中的有限个覆盖 $K_x$. 把常函数 $f(x)$ 和这有限覆盖中每个对应的 $a_{x,y}$ 一块取 $\max$, 所得函数记作 $a_x\in A$. 现在:

•	对 $z\in K_x$, 依 $a_x$ 的取法, 存在 $y\in K_x$ 使得 $z\in U_y$ 且 $a_x(z)\ge a_{x,y}(z)>f(z)$.
•	对 $z\notin K_x$, 有 $a_x(z)\ge f(x)>f(z)-\epsilon$.

所以不论如何总有 $a_x(z)>f(z)-\epsilon$. 再记 $V_x=\{z\in X\mid a_x(z)<f(z)+\epsilon \}$ 为 $x$ 的邻域, 则 $V_x$ 中的有限个覆盖全空间 $X$, 把它们对应的 $a_x$ 取 $\min$, 所得函数 $a\in A$ 即为所求.

$\square$

引理 1.3. 设 $M$ 为正实数. 则在 $[-M,M]$ 中, 多项式函数能逼近绝对值函数. 换言之, 对任意 $\epsilon >0$, 存在实系数多项式 $f$, 使得 ${\sup }_{x\in [-M,M]}|f(x)-|x||<\epsilon$.

证明. 缩放坐标不妨设 $M=1/2$. 以 $k_n(x)$ 记多项式 $c_n(1-x^2{)}^n$, 其中常数 $c_n\in {\mathbb{R}}_{+}$ 适当选取使其在 $[-1,1]$ 积分是 $1$. 令$$f_n(x)=\frac{1}{2}-{\int }_{-1/2}^{1/2}{k}_n(x-y)\left(\frac{1}{2}-|y|\right)\mathrm{d}y,$$则它是一族 $2n$ 次多项式的积分, 所以也是 $2n$ 次多项式. 由于积分式实际上是 $k_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 之外零延拓与 $1/2-|x|$ 在 $[-1/2,1/2]$ 之外零延拓的卷积, 由单位逼近的一般道理容易发现 $n\to \infty$ 时 $f_n(x)$ 在 $[-1/2,1/2]$ 上一致收敛到 $|x|$. 此即欲证.

$\square$

注意下面的代数都默认含幺.

定理 1.4 (实版本). $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $\mathbb{R}(X)$ 指其实值连续函数环. 设 $\mathbb{R}$-子代数 $A\subseteq \mathbb{R}(X)$ 区分点, 则 $A$ 能一致逼近任意连续函数.

证明. 要证明 $A$ 在一致范数下的闭包 $C$ 为 $\mathbb{R}(X)$. 由加减法、乘法对两个分量的一致范数连续知 $C$ 仍是子代数. 由引理 1.3 知 $C$ 对取绝对值封闭. 由 $\max \{a,b\}=a+\max \{0,b-a\}$, $\max \{0,c\}=\frac{c+|c|}{2}$ 知 $C$ 对二元 $\max$ 封闭, $\min$ 类似. 故由定理 1.2 即得结论.

$\square$

定理 1.5 (复版本). $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $\mathbb{C}(X)$ 指其复值连续函数环. 设 $\mathbb{C}$-子代数 $A\subseteq \mathbb{C}(X)$ 区分点、对共轭封闭, 则 $A$ 能一致逼近任意连续函数.

证明. 由 $\mathrm{Re}a=\frac{a+\bar{a}}{2}$, $\mathrm{Im}a=\frac{a-\bar{a}}{2\mathrm{i}}$ 不难得知 $A\cap \mathbb{R}(X)$ 区分点. 故由定理 1.4 知 $A\cap \mathbb{R}(X)$ 能一致逼近 $\mathbb{R}(X)$. 由 $A$ 是 $\mathbb{C}$-线性空间立得它能一致逼近 $\mathbb{C}(X)$.

$\square$

2相关概念

•	Fejer 核
•	极大谱
•	C* 代数
•	Gelfand 变换
•	Peter–Weyl 定理

术语翻译

Stone–Weierstraß 定理 • 英文 Stone–Weierstraß theorem • 德文 Satz von Stone–Weierstraß • 法文 théorème de Stone–Weierstraß