积集

在集合论中, 集合 $X,Y$ 的积集 (也称为直积或 Descartes 积) 是指集合$$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}.$$更一般地, 也可以定义多个集合的积集. 例如, Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 就可以视为 $n$ 个实数集 $\mathbb{R}$ 的积集.

从范畴论的观点看, 积集是集合范畴中的积.

1定义

定义 1.1. 集合 $X$ 和 $Y$ 的积集是集合$$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\},$$其中 $(x,y)$ 表示有序对, 可以严格定义为$$(x,y)=\left\{\{x\},\{x,y\}\right\}.$$

定义 1.2. 一族集合 $(X_i{)}_{i\in I}$ 的积集是$$\prod _{i\in I}{X}_i=\{(x_i{)}_{i\in I}\mid x_i\in X_i\},$$其中 $(x_i{)}_{i\in I}$ 表示一族元素. 上述定义可以严格写成$$\prod _{i\in I}{X}_i=\left\{f:I\to \bigcup _{i\in I}{X}_i|\forall i\in I,f(i)\in X_i\right\}.$$

2性质

•	$0$ 个集合的积集是单点集. $1$ 个集合的积集是其自身.

•	选择公理可以表述为: 一族非空集的积集非空.

3相关概念

术语翻译

积集 • 英文 product set

Descartes 积 • 英文 Cartesian product • 德文 Kartesisches Produkt • 法文 produit cartésien • 拉丁文 productum cartesianum