概率空间

概率空间是概率论的研究对象. 大致来说, 概率空间描述的是一个 “带有随机性的系统”, 该系统能够随机地产生不同的结果; 概率空间也描述了所有不同结果出现的可能性.

严格地说, 概率空间是一个测度空间, 其全空间测度为 $1$. 在概率论中, 概率空间的元素视为可能的结果, 其测度称为概率测度, 描述事件发生的概率.

1定义

定义 1.1. 概率空间是三元组 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$, 其中:

•	$\Omega$ 是集合, 表示所有可能结果的集合.

•	$\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数, 其元素称为 $\Omega$ 中的可测集.

•	$\mathbb{P}$ 是 $\mathcal{F}$ 上的测度, 使得 $\mathbb{P}(\Omega )=1$.

可以如下理解上述定义的直观含义.

•	$\Omega$ 是在一个带有随机性的系统中, 所有可能出现的结果的集合. 例如, 掷一枚均匀的骰子, 所有可能的结果是集合 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. 又例如, 在区间 $[0,1]$ 中随机选取一个实数, 则所有可能的结果是集合 $\Omega =[0,1]$.

•	$\mathcal{F}$ 的元素是该系统中的事件. 大致来说, “事件” 就是在一个带有随机性的系统中, 取决于随机产生的结果的命题. 例如, 掷一枚均匀的骰子, 则 “结果是偶数” 就是一个事件, 它成立与否取决于实际上掷骰子的结果. 又例如, 在区间 $[0,1]$ 中随机选取一个实数, 则 “选的数大于 $1/2$” 也是一个事件. 注意到, 只有 $\Omega$ 的一部分子集, 即在 $\mathcal{F}$ 中的那些子集, 也就是可测集, 才被视为事件, 因为只有对这些事件才能定义概率, 即其测度.

•	$\mathbb{P}$ 表示事件发生的概率. 更准确地说, 将元素 $E\in \mathcal{F}$ 视为事件, 则 $\mathbb{P}(E)$ 就是 $E$ 发生的概率. 我们要求 $\mathbb{P}(\Omega )=1$, 也就是说, “一定发生的事件” 概率为 $1$.

2例子

•	离散概率空间是概率空间的基本例子. 例如, 掷一枚均匀的骰子, 所有可能的结果是集合 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. 此时 $\mathcal{F}=2^{\Omega }$, 概率测度 $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ 将每个 $k$ 元集映到 $k/6$. 骰子结果为 $2$ 的概率将会是 $\mathbb{P}(\{2\})=\frac{1}{6}$.

术语翻译

概率空间 • 英文 probability space • 德文 Wahrscheinlichkeitsraum (m) • 法文 espace probabilisé (m) • 拉丁文 spatium probabilitatis (n) • 古希腊文 χῶρος πιθανότητος (m)